K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 3 2016

\(a^5+b^5+c^5=\left[\left(a^5:a^4\right)+\left(b^5:b^4\right)+\left(c^5:c^4\right)\right]\times a^4\times b^4\times c^4\)

\(\left[a+b+c\right]\times a^4\times b^4\times c^4=0\times a^4\times b^4\times c^4=0\)

Ma 0 chia het cho 30 \(\Rightarrow a^5+b^5+c^5\) chia het cho 30 \(\Rightarrow\) dpcm

5 tháng 3 2016

Đặt A = a5+b5-(a+b)5

 A= -5ab(a3+2a2b+2ab2+b2) chia het cho 5 

_nếu a, b cùng chẵn \(\Rightarrow\)A chia het cho 2 

_ nếu a, b cùng lẻ => a3+b3 chia het cho 2 =>(a3+2a2b+2ab2+b2) chia het cho 2 

=> A chia het cho 2 

cm chia hết  cho 3 là ok ^^ 

Hỳ Hỳ 

2 tháng 12 2018

Khó nhỉ :))

29 tháng 7 2021

khocroi

NV
18 tháng 4 2021

Đặt \(A=a^5+b^5+c^5\)

\(A-\left(a+b+c\right)=a^5-a+b^5-b+c^5-c\)

Ta có: \(B=a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

Nếu \(a\) chia hết cho 5 \(\Rightarrow B\) chia hết cho 5

Nếu a chia 5 dư 1 hoặc -1 \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) chia hết chi 5 \(\Rightarrow\)B chia hết cho 5

Nếu a chia 5 dư 2 hoặc -2 \(\Rightarrow a^2+1\) chia 5 dư \(\left(\pm2\right)^2+1=5\Rightarrow a^2+1⋮5\Rightarrow B⋮5\)

Vậy \(B=a^5-a⋮5\) với mọi a nguyên

Hoàn toàn tương tự, \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 5 với mọi b; c

\(\Rightarrow A-\left(a+b+c\right)⋮5\Rightarrow A⋮5\) (đpcm)

(Có thể ngắn gọn hơn là \(a^5\equiv a\left(mod5\right)\Rightarrow a^5-a⋮5\) ; \(\forall a\in Z\))

4 tháng 8 2019

Ta thấy : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right).\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

Ta có :\(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)là tích 5 số tự nhiên liên tiếp :

\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(5\)và cũng \(⋮\)\(6\)( cũng là 3 số tự nhiên liên tiếp )

\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(1\right)\)

Ta lại có : \(5\)\(⋮\)\(5\)và \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(6\)

\(\Rightarrow5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)

Hay \(a^5-a\)\(⋮\)\(30\)

Tương tự \(b^5-b\)và \(c^5-c\)cũng chia hết cho 30 

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)\)\(⋮\)\(30\)

Mà \(a+b+c\)\(⋮\)\(30\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5\)\(⋮\)\(30\)\(\left(đpcm\right)\)

6 tháng 8 2023

Có : a + b + c = 0

=> (a + b)5 = (-c)5

      a5 + 5a4b + 10a3b+ 10a2b3 + 5ab4 + b5 = -c5

      a5 + b5 + c5 = -5a4b - 10a3b2 - 10a2b3 - 5ab4

       a5 + b5 + c5 = -5ab(a3 + 2a2b + 2ab2 + b3)

      a5 + b5 + c= -5ab[(a3 + b3) + (2a2b + 2ab2)]

      a5 + b5 + c5 = -5ab[(a + b)(a2 - ab + b2) + 2ab(a + b)]

      a5 + b5 + c5 = -5ab(a + b)(a2 + b2 + ab)  

      a5 + b5 + c5 = 5abc(a2 + b2 + ab)   (do a+b+c=0=> a+b=-c)

      2(a5 + b5 + c5) = 5abc(2a2 + 2b2 + 2ab)

      2(a5 + b5 + c5) = 5abc[a2 + b2 +(a2 + 2ab + b2)]

      2(a5 + b5 + c5) = 5abc[a2 + b2 + (a + b)2]

      2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2)    (do a+b=-c=> (a +b )2 = c2

    \(\Leftrightarrow\) \(a^5+b^5+c^5=\dfrac{5}{2}abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Vậy...

23 tháng 5 2016

\(a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(\)\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

Chứng minh : \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\)chia hết cho 5 và 6

\(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)chia hết cho 6

Mà (5,6) = 1

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\)chia hết cho 30

\(\Rightarrow5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)chia hết cho 30 

\(\Rightarrow a^5-a\) chia hết cho 30 (ĐPCM)