Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn: a + b + c = 1
. Tìm GTNN của biểu thức: T = \(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 7 2020
Đặt \(\left(\sqrt{5a+4};\sqrt{5b+4};\sqrt{5c+4}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=17\\2\le x;y;z\le3\end{matrix}\right.\)
\(P=x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\sqrt{51}\)
\(P_{max}=\sqrt{51}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(2\le x\le3\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0\Rightarrow x\ge\frac{x^2+6}{5}\)
Tương tự: \(y\ge\frac{y^2+6}{5}\) ; \(z\ge\frac{z^2+6}{5}\)
Cộng vế với vế: \(P\ge\frac{x^2+y^2+z^2+18}{5}=7\)
\(P_{min}=7\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
9 tháng 7 2017
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
TT
1
TN
23 tháng 6 2016
nè Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằngcăn(5a + 4) + căn(5b + 4) + căn(5c + 4) >= 7- Mạng Giáo Dục Pitago.Vn – Giải pháp giúp em học toán vững vàng!
1 tháng 11 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(3=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Và
\(VT^2=\left(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\right)^2\)
\(\le\left(5a+4+5b+4+5c+4\right)\left(1+1+1\right)\)
\(\Leftrightarrow VT^2\le15\left(a+b+c\right)+36\)
Mà \(3\le a+b+c\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow VT^2\le15\left(a+b+c\right)+12\left(a+b+c\right)=27\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\le3\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\)
Ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
AR
1
LG
8 tháng 1 2020
Đặt \(\left(\sqrt{5a+4};\sqrt{5b+4};\sqrt{5c+4}\right)=\left(x;y;z\right)\) \(\left(2\le x;y;z\le3\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=5\left(a+b+c\right)+12=5+12=17\)
Ta lại có: \(2\le x\le3\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0\)\(\Rightarrow x^2-5x+6\le0\)
T/tự: \(y^2-5y+6\le0;z^2-5z+6\le0\)
Nên: \(\left(x^2-5x+6\right)+\left(y^2-5y+6\right)+\left(z^2-5z+6\right)\le0\)
\(\Rightarrow5\left(x+y+z\right)\ge x^2+y^2+z^2+18=17+18=35\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge7\)
Đẳng thức xảy ra khi: \(\left(x;y;z\right)=\left(2;2;3\right)\) và các hoán vị
Vậy MinT=7 đạt được khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
TN
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 11 2019
Đặt \(\left(\sqrt{5a+4};\sqrt{5b+4};\sqrt[]{5c+4}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\le x;y;z\le3\\x^2+y^2+z^2=5\left(a+b+c\right)+12=17\end{matrix}\right.\)
Ta cần tìm GTNN của \(A=x+y+z\)
Do \(2\le x\le3\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x+6\le0\Leftrightarrow x\ge\frac{x^2+6}{5}\)
Hoàn toàn tương tự ta có: \(y\ge\frac{y^2+6}{5}\) ; \(z\ge\frac{z^2+6}{5}\)
Cộng vế với vế: \(x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+18}{5}=7\)
\(\Rightarrow A_{min}=7\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;2;3\right)\) và các hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
WR
3
6 tháng 6 2017
Tìm trước khi hỏi :
Đề vòng 1 chuyên sư phạm 2016-2017 - Tài liệu - Đề thi - Diễn đàn Toán học
Do \(a,b,c\geq 0\) và \(a+b+c=1\) nên \(a,b,c\le1\).
Xét hiệu \(5a+4-\left(a+2\right)^2=a\left(1-a\right)\ge0\)
\(\Rightarrow5a+4\ge\left(a+2\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a+4}\ge a+2\).
Tương tự, \(\sqrt{5b+4}\ge b+2;\sqrt{5c+4}\ge c+2\).
Cộng vế với vế ta có \(T\ge a+b+c+6=7\).
Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = c = 0 và các hoán vị.
Vậy Min T = 7 khi a = 1; b = c = 0.
Một ý tưởng để có được bất đẳng thức phụ \(\sqrt{5a+4}\ge a+2\forall0\le a\le1.\)
Do $0\leq a \leq 1$ nên $a\ge a^2.$
Ta có: \(\sqrt{5a+4}=\sqrt{a+4a+4+\ 4}\ge\sqrt{a^2+4a+4+4}=a+2\)
Ngoài ra còn một cách là giả sử \(\sqrt{5a+4}\ge ma+n\)
rồi đi chọn $m,n$ theo điểm rơi.
Không biết còn cách nào khác không nhỉ?