Cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Qua G vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Chứng minh rằng BD=\(\dfrac{1}{3}\)BC.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kẻ AE là đường trung tuyến của tam giác ABC, E\(\in\)BC
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC ( gt ) nên ta có : \(AG=\frac{2}{3}AE\Rightarrow\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}\)
Xét tam giác ABE có GD\(//\)AB ( G\(\in\)AE; D \(\in\)BE vì \(D\in BC\)mà \(E\in BC\)) ta có :
\(\frac{BD}{BE}=\frac{AG}{AE}\)( áp dụng định lý Ta-lét ) mà lại có :\(\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}\)( cmt )
\(\Rightarrow\frac{BD}{BE}=\frac{2}{3}\)
Mà AE là đường trung tuyến của tam giác ABC ( E \(\in\)BC ) nên E là trung điểm của BC
\(\Rightarrow BE=EC\)và \(BE+EC=BC\)
\(\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{BD}{BE+EC}=\frac{2}{2\cdot BE}=\frac{2}{2\cdot3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow BD=\frac{1}{3}BC\)( ĐPCM )
a: Xét ΔAHB và ΔAHC có
AB=AC
góc BAH=góc CAH
AH chung
=>ΔAHB=ΔAHC
b: Xet ΔABC có
AH,BD là trung tuyến
AH cắt BD tại G
=>G là trọng tâm
c: Xét ΔABC có
H là trung điểm của BC
HE//AC
=>E là trung điểm của AB
=>C,G,E thẳng hàng
Gọi M là trung điểm BC. Khi đó ta có \(AG=\frac{2}{3}AM\)
Do GD song song AB nên \(\frac{BD}{BM}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3}\)
Tương tự ta có \(\frac{EC}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{EC}{BC}.\)
b. Từ tỉ số \(\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3};\frac{EC}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}\)
Vậy \(BD=DE=EC.\)
Chúc em học tốt :)
Gọi E là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(E là trung điểm của AB)
G là trọng tâm của ΔABC(Gt)
Do đó: G∈CE(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
⇒GD//BE
Xét ΔABC có
CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(E là trung điểm của AB)
G là trọng tâm của ΔABC(gt)
Do đó: \(CG=\dfrac{2}{3}CE\)(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)(1)
Ta có: CG+GE=CE(G nằm giữa C và E)
⇔GE=CE-EG
hay \(GE=\dfrac{1}{3}CE\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{CG}{GE}=\dfrac{2}{1}\)
Xét ΔCEB có
G∈CE(cmt)
D∈BC(gt)
GD//EB(cmt)
Do đó: \(\dfrac{GC}{EG}=\dfrac{DC}{BD}\)(Định lí Ta lét)
⇒\(\dfrac{DC}{BD}=2\)
hay DC=2BD
Ta có: BD+DC=BC(D nằm giữa B và C)
⇔2BD+BD=BC
⇔3BD=BC
hay \(BD=\dfrac{1}{3}BC\)(đpcm)
Từ điểm C kẻ đường trung tuyến CE của tam giác ABC
Ta có GD sog sog AB (gt).
Suy ra : GD sog sog BE ( E thuộc AB)
Xét Tam giác ABC: G là trọng tâm (gt)
Suy ra: GE/CE = 1/3 (Tc trọng tâm trong tgiác)
Xét tam giác BCE có: GD sog sog BE (cmt)
Suy ra: BD/BC = GE/CE (định lý Talet)
mà: GE/CE = 1/3 (cmt)
Suy ra: BD = 1/3 BC (đpcm)