Cho a,b,c > 0 va a+b+c=1
Chung minh \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
T
13 tháng 2 2020
Mấy cái dấu "=" anh tự xét.
Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\)
a) Áp dụng: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
b) \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}\)
20 tháng 3 2020
BĐT phụ:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ( đpcm )
Vậy.......
EN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 11 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{9}{abc+2}\Leftrightarrow abc+2\ge3\sqrt[3]{abc}\)
BĐT trên luôn đúng theo AM-GM vì: \(abc+2=abc+1+1\ge3\sqrt[3]{abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
17 tháng 10 2016
Từ giả thiết ta có \(1+c^2=ab+bc+ac+c^2=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\) ; \(1+a^2=ab+bc+ac+a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(1+b^2=ab+bc+ac+b^2=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\)
Suy ra \(\frac{a+b}{1+c^2}+\frac{b+c}{1+a^2}+\frac{c+a}{1+b^2}=\frac{a+b}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{b+c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c+a}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Theo BĐT Cauchy , ta có : \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{27\left(a+b\right)^2}{\left(a+b+b+c+c+a\right)^3}=\frac{27\left(a+b\right)^2}{8\left(a+b+c\right)^3}\)
Tương tự : \(\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{27\left(b+c\right)^2}{8\left(a+b+c\right)^3}\) ; \(\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{27\left(c+a\right)^2}{8\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{9}{8\left(a+b+c\right)^3}.3\left[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\right]\)
\(\ge\frac{9}{8\left(a+b+c\right)^3}.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^2\) (Áp dụng BĐT Bunhiacopxki)
\(=\frac{9.4\left(a+b+c\right)^2}{8\left(a+b+c\right)^3}=\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\) (đpcm)
V
2
3 tháng 6 2019
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức cho các số không âm:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(''=''\Leftrightarrow a=b=c\)
CB
3 tháng 6 2019
Trình bày như vậy khó lắm nếu bn ấy chưa tìm hiểu
BĐT
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=9\)( do a,b,c>0)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}-2+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}-2+\frac{c}{a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b-c\right)^2}{bc}+\frac{\left(a-c\right)^2}{ac}\ge0\)(đúng)
14 tháng 8 2019
BĐT \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Áp dụng bđt Cô-si :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Nhân theo vế của 2 bđt :
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
13 tháng 5 2021
a)Áp dụng BĐT cosi-schwart:
`A=1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)`
Mà `a+b+c<=3/2`
`=>A>=9:3/2=6`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1/2`
b)Áp dụng BĐT cosi:
`a+1/(4a)>=1`
`b+1/(4b)>=1`
`c+1/(4c)>=1`
`=>a+b+c+1/(4a)+1/(4b)+1/(4c)>=3`
Ta có:
`1/a+1/b+1/c>=6`(Ở câu a)
`=>3/4(1/a+1/b+1/c)>=9/2`
`=>a+b+c+1/(a)+1/(b)+1/(c)>=3+9/2=15/2`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1/2`
25 tháng 3 2022
a)Áp dụng BĐT cosi-schwart:
A=1a+1b+1c≥9a+b+cA=1a+1b+1c≥9a+b+c
Mà a+b+c≤32a+b+c≤32
⇒A≥9:32=6⇒A≥9:32=6
Dấu "=" ⇔a=b=c=12⇔a=b=c=12
b)Áp dụng BĐT cosi:
a+14a≥1a+14a≥1
b+14b≥1b+14b≥1
c+14c≥1c+14c≥1
⇒a+b+c+14a+14b+14c≥3⇒a+b+c+14a+14b+14c≥3
Ta có:
1a+1b+1c≥61a+1b+1c≥6(Ở câu a)
⇒34(1a+1b+1c)≥92⇒34(1a+1b+1c)≥92
⇒a+b+c+1a+1b+1c≥3+92=152⇒a+b+c+1a+1b+1c≥3+92=152
Dấu "=" ⇔a=b=c=12
áp dụng bđt Bunyakovsky dạng phân thức ta có ngay :
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\)
đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1/3
vậy ta có đpcm