Chứng minh nếu a,b,c >0 thì
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}>\frac{3}{a+b+c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
1
15 tháng 2 2017
\(\frac{a+c}{b+c}>\frac{a}{b}\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+c\right)>a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc>ab+ac\)
\(\Leftrightarrow bc>ac\)
\(\Leftrightarrow b>a\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< 1\) (luôn đúng)
7 tháng 4 2019
\(C=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
\(>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
\(D< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2016.2017}\)
\(\Rightarrow D< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\)
\(\Rightarrow D< 1-\frac{1}{2017}< 1\)
Vậy C > D
10 tháng 7 2019
Bài 2 : Theo ví dụ trên ta có : \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)=> ad < bc
Suy ra :
\(\Leftrightarrow ad+ab< bc+ba\Leftrightarrow a(b+d)< b(a+c)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
Mặt khác : ad < bc => ad + cd < bc + cd
\(\Leftrightarrow d(a+c)< (b+d)c\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Vậy : ....
10 tháng 7 2019
b, Theo câu a ta lần lượt có :
\(-\frac{1}{3}< -\frac{1}{4}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)
\(-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}\)
\(-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}\)
Vậy : \(-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)
20 tháng 3 2020
BĐT phụ:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ( đpcm )
Vậy.......
TN
31 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{a^2b}{b^2+1}\ge a-\frac{a^2b}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=1\)
31 tháng 7 2017
tc \(x^2+y^2\ge2xy\left(cauchy\right)\)
\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2ab}\ge a-\frac{1}{2}\)(1)
tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{1}{2}\)(2)
\(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{1}{2}\)(3)
từ (1)(2)(3)=> \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{3}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\left(a+b+c=3\right)\)
=> đpcm
KN
25 tháng 12 2019
\(VT=a-\frac{ab^2}{b^2+1}+b-\frac{bc^2}{c^2+1}+c-\frac{ca^2}{a^2+1}\)
\(=3-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\)
Áp dụng BCS:
\(\frac{ab^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)
\(\frac{bc^2}{c^2+1}\le\frac{bc^2}{2c}=\frac{bc}{2}\)
\(\frac{ca^2}{a^2+1}\le\frac{ca^2}{2a}=\frac{ca}{2}\)
\(\Rightarrow3-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Ta có BĐT phụ:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)(vì a+b+c=3)
\(\Rightarrow\frac{ab+bc+ca}{2}\le\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Vậy \(VT=a-\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=1\))
Vì a,b,c dương nên hiển nhiên:
\(a+b< a+b+c\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}>\frac{1}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}\) và \(\frac{1}{c+a}>\frac{1}{a+b+c}\)
Cộng vế lại ta được: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}>\frac{3}{a+b+c}\)