B Cho 4 số không âm a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 1. Chứng minh:
\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+d}+\sqrt{d+a}\le2\sqrt{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 3 2020
Đặt 4 căn thức lần lượt là \(\left(x;y;z;t\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+t^2=3\)
Ta cần chứng minh: \(x+y+z+t\le2\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(x+y+z+t\right)^2\le\left(1+1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)=12\)
\(\Rightarrow x+y+z+t\le2\sqrt{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
P/s: việc đặt chỉ để viết cho ngắn, còn thực chất bạn áp dụng luôn Buniacopxki cho 1 dòng cũng được
28 tháng 12 2015
\(VT^2\ge\left(1+1+1+1\right)\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\right)\ge4.1=4\)
=> VT >/ 2
Dễ CM được \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\ge1\)
28 tháng 12 2015
\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\)
\(\ge\frac{a}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{b}{\frac{b+c+d+a}{2}}+\frac{c}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{d}{\frac{a+b+c+d}{2}}=2\)
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b + c+ d
b = c+d+a
c = b+a+d
d = a+b+c
Hình như ko có a ; b; c ;d
Bài này giải được!
(Lớp 7)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 4 số ta có:
\(\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+d}+1.\sqrt{d+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2+1^2\right)\left(2\left(a+b+c+d\right)\right)=8\)
\(\Rightarrow\)\(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+d}+1.\sqrt{d+a}\le2\sqrt{2}\)
Xảy ra đẳng thức khi \(\frac{1}{\sqrt{a+b}}=\frac{1}{\sqrt{b+c}}=\frac{1}{\sqrt{c+d}}=\frac{1}{\sqrt{d+a}}\)và a + b + c + d = 1 <=> a = b = c = d = 1/4