Question

[Vũ Mạnh Hưng]

a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng $4–i$ và tích của chúng bằng $5(1–i)$

c) Có phải mọi phương trình bậc hai $z^2+Bz+C=0$ ($B,C$ là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số $B,C$ là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Mai]

a) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Az2+Bz+C=0Az2+Bz+C=0 là

                  z=–B±δ2A(δ2=B2–4AC)z=–B±δ2A(δ2=B2–4AC)

Do đó z1+z2=–BAz1+z2=–BA;z1.z2=(–B–δ)(–B+δ)2A.2A=B2–δ24A2=4AC4A2=CAz1.z2=(–B–δ)(–B+δ)2A.2A=B2–δ24A2=4AC4A2=CA

Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.

b) Giả sử z1+z2=αz1+z2=α; z1z2=βz1z2=β

z1,z2z1,z2 là hai nghiệm phương trình:

(z–z1)(z–z2)=0⇔z2–(z1+z2)z+z1z2=0⇔z2–αz+β=0(z–z1)(z–z2)=0⇔z2–(z1+z2)z+z1z2=0⇔z2–αz+β=0

Theo đề bài z1+z2=4–iz1+z2=4–i; z1z2=5(1–i)

nên z1,z2z1,z2 là hai nghiệm phương trình

z2–(4–i)z+5(1–i)=0z2–(4–i)z+5(1–i)=0 (*)

Δ=(4–i)2–20(1–i)=16–1–8i–20+20i=–5+12iΔ=(4–i)2–20(1–i)=16–1–8i–20+20i=–5+12i

Giả sử (x+yi)2=–5+12i⇔{x2–y2=–52xy=12(x+yi)2=–5+12i⇔{x2–y2=–52xy=12

⇔{x2–36x2=–5y=6x⇔{x4+5x2–36=0y=6x⇔{x=2y=3 hoặc {x=–2y=–3⇔{x2–36x2=–5y=6x⇔{x4+5x2–36=0y=6x⇔{x=2y=3 hoặc {x=–2y=–3

Vậy ΔΔ có hai căn bậc hai là ±(2+3i)±(2+3i).

Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:

z1=12[4–i+(2+3i)]=3+iz1=12[4–i+(2+3i)]=3+i

z2=12[4–i–(2+3i)]=1–2iz2=12[4–i–(2+3i)]=1–2i

c) Nếu phương trình z2+Bz+C=0z2+Bz+C=0 có hai nghiệm z1,z2z1,z2 là hai số phức liên hợp, z2=¯¯¯¯¯z1z2=z1¯, thì theo công thức Vi-ét,B=–(z1+z2)=–(z1+¯¯¯¯¯z1)B=–(z1+z2)=–(z1+z1¯) là số thực, C=z1z2=z1¯¯¯¯¯z1C=z1z2=z1z1¯ là số thực.

Điều ngược lại không đúng vì nếu B,CB,C thực thì Δ=B2–4AC>0Δ=B2–4AC>0 hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. ( Khi Δ≤0Δ≤0 thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).