Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số $y=x^3-m{x}^2+3x+1$ và $M\left(1;-2\right).$ Biết có 2 giá trị của m là $m_1$ và $m_2$ để đường thẳng $\Delta :y=x+1$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt $A\left(0;1\right),$ B, C sao cho $\Delta MBC$ có diện tích bằng $4\sqrt{2}.$ Hỏi $m_1^2+m_2^2$ thuộc khoảng nào trong các khoảng nào sau đây

A.  $\left(15;17\right)$

B.  $\left(3;5\right)$

C.  $\left(31;33\right)$

D.  $\left(16;18\right)$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là

x 3 − m x 2 + 3 x + 1 = x + 1 ⇔ x 3 − m x 2 + 2 x = 0 ⇔ x x 2 − m x + 2 = 0 = 0 ⇔ x = 0 x 2 − m x + 2 = 0 = 0 *

Để (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt ⇔ *  có 2 nghiệm phân biệt khác 0  ⇔ m > 2 2 m < − 2 2

Gọi A 0 ; 1 ,   B x 1 ; y 1 ,   C x 2 ; y 2  là tọa độ giao điểm của (C) và d

Với x 1 ; x 2  là nghiệm phương trình * ,  suy ra  x + x 2 = m x 1 . x 2 = 2 ⇒ x 1 − x 2 2 = m 2 − 8

Khoảng cách từ M đến BC là:

d M ; Δ = 4 2 ⇒ S M B C = 1 2 d M ; Δ . B C = 4 2 ⇒ B C = 4

Mà:

B C = x 2 − x 1 2 + y 2 − y 1 2 = 2 x 2 − x 1 2 = 2 m 2 − 16 ⇒ 2 m 2 − 16 = 16 ⇒ m = ± 4

Vậy  m 1 2 + m 2 2 = 4 2 + − 4 2 = 32 ∈ 31 ; 33