Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[1;4\right],$ đồng biến trên đoạn $\left[1;4\right]$ và thỏa mãn đẳng thức $x+2x.f\left(x\right)={\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2,\forall x\in \left[1;4\right].$ Biết rằng  $f\left(1\right)=\frac{3}{2},$tính $I=\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx?$

A.  $I=\frac{1186}{45}.$

B.  $I=\frac{1174}{45}.$

C.  $I=\frac{1222}{45}.$

D.  $I=\frac{1201}{45}.$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A.

Vì y = f x là hàm số đồng biến trên  1 ; 4 ⇒ f x ≥ f 1 = 3 2 .

Khi đó:

x + 2 x . f x = f ' x 2 ⇔ x . 2 f x + 1 = f ' x ⇔ f ' x 2 f x + 1 = x   ( * ) .

Lấy nguyên hàm 2 vế của (*), ta được:

∫ f ' x 2 f x + 1 d x = ∫ x d x = 2 3 x x + C   ( 1 ) .

Đặt t = 2 f x + 1

⇔ d t = f ' x 2 f x + 1 d x ⇒ ∫ f ' x 2 f x + 1 d x = ∫ d t = t   ( 2 ) .

Từ (1), (2) suy ra 2 f x + 1 = 2 3 x x + C mà  f 1 = 2 3 ⇒ 2. 3 2 + 1 = C + 2 3 ⇔ C = 4 3 .

Do đó:

2 f x + 1 = 2 3 x x + 4 3 ⇔ f x = 1 2 2 3 x x + 4 3 2 − 1 .

 Vậy  ∫ 1 4 f x d x = 1186 45 .