Question

[Doraemon]

Giải Phương Trình:

\(\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x+2}+\frac{x^2+2x+2}{x^2+2x+3}=\frac{7}{6}\)

Các bạn giải cách nào mà ngắn gọn nhất nhak. Mink đã thử đặt ẩn phụ rùi làm nó cũng ra nhưng dài quá >.<

Mink sẽ tick hứa đấy

Answer 1

[Min]

\(\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x+1}+\frac{x^2+2x+2}{x^2+2x+3}=\frac{7}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2x+2-1}{x^2+2x+2}+\frac{x^2+2x+3-1}{x^2+3x+3}=\frac{7}{6}\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{x^2+2x+2}+1-\frac{1}{x^2+2x+3}=\frac{7}{6}\)

Đặt \(y=x^2+2x+1\), ta được:

\(2-\left(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y+2}\right)=\frac{7}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y+2}=2-\frac{7}{6}=\frac{5}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y+2}-\frac{5}{6}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{6\left(y+2\right)+6\left(y+1\right)-5\left(y+1\right)\left(y+2\right)}{6\left(y+1\right)\left(y+2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow6y+12+6y+6-\left(5y+5\right)\left(y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow6y+12+6y+6-5y^2-10y-5y-10=0\)

\(\Leftrightarrow-5y^2-3y+8=0\)

\(\Leftrightarrow-5y^2+5y-8y+8=0\)

\(\Leftrightarrow-5y\left(y-1\right)-8\left(y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-\left(y-1\right)\left(5y+8\right)=0\)

Th1  \(y-1=0\Leftrightarrow y=1\) 

               \(\Leftrightarrow x^2+2x+1=1\)

                \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=1\Leftrightarrow x+1=1;x=1=-1\)

               \(\Leftrightarrow x=0\)   hoặc   \(x=-2\)

Th2  \(5y+8=0\Leftrightarrow5y=-8\Leftrightarrow y=\frac{-8}{5}\) 

       \(\Leftrightarrow x^2+2x+1=\frac{-8}{5}\)

        \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=-\frac{8}{5}\)

        Vì \(\left(x+1\right)^2\ge0\) mà   \(\left(x+1\right)^2=\frac{-8}{5}\)  ( vô lý) nên k có giá trị của x

Vậy   \(S=\left\{0;-2\right\}\)