Cho ba số thực dương: a, b, c ≤ 1 thỏa mãn: a 1 - b 2 b 1 - c 2 c 1

PT

Pham Trong Bach

9 tháng 9 2017

Cho ba số thực dương: a, b, c ≤ 1 thỏa mãn: a 1 - b 2 + b 1 - c 2 + c 1 - a 2 = 3 2 . Chọn câu đúng. A. a 2 + b 2 + c 2 = 3 2 B. a 2 + b 2 + c 2 = 3 C. a 2 + b 2 ...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

CM

Cao Minh Tâm

9 tháng 9 2017

Đúng(0)

KH

Kimian Hajan Ruventaren

15 tháng 3 2021

Cho ba số thực dương thỏa mãn abc=1. CMR

$\dfrac{1}{a^2+a+1}+\dfrac{1}{b^2+b+1}+\dfrac{1}{c^2+c+1}\ge1$

#Toán lớp 10

1

HP

Hồng Phúc

16 tháng 3 2021

Đặt $a=\dfrac{yz}{x^2};b=\dfrac{zx}{y^2};c=\dfrac{xy}{z^2}$

Áp dụng BĐT BSC:

$\dfrac{1}{a^2+a+1}+\dfrac{1}{b^2+b+1}+\dfrac{1}{c^2+c+1}$

$=\dfrac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}+\dfrac{y^4}{y^4+y^2zx+z^2x^2}+\dfrac{z^4}{z^4+z^2xy+x^2y^2}$

$\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+xyz\left(x+y+z\right)}$

Ta cần chứng minh:

$\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+xyz\left(x+y+z\right)}\ge1$

$\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+xyz\left(x+y+z\right)$

$\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-xy.yz-yz.zx-zx.xy\ge0$

$\Leftrightarrow\left(xy-yz\right)^2+\left(yz-zx\right)^2+\left(zx-xy\right)^2\ge0,\forall x,y,z$

$\Rightarrow dpcm$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Đúng(3)

R

Rhider

19 tháng 12 2021

Các Ctv hoặc các giáo viên helpp ạ

Cho a,b,c là số thực dương không âm thỏa mãn

Cho a,b,c là số thực dương không âm thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}>10$

#Toán lớp 9

0

VN

VUX NA

21 tháng 8 2021

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

$\left(a^2+b^2+c^2\right)^3$ ≥ 9(a + b + c)

#Toán lớp 9

4

NH

Nguyễn Hoài Đức CTVVIP

21 tháng 8 2021

${(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{3}$ ≥ 9(a + b + c)

Đúng(0)

V

VyLinhLuân

21 tháng 8 2021

(a2+b2+c2)3(a2+b2+c2)3 ≥ 9(a + b + c)

Đúng(0)

HT

Hoài Thu Vũ

31 tháng 7 2023

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge9\left(a+b+c\right)$

#Toán lớp 9

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

31 tháng 7 2023

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\geq \frac{(a+b+c)^6}{27}$

Áp dụng BĐT Cô-si: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\geq \frac{(a+b+c)^6}{27}\geq \frac{(a+b+c).3^5}{27}=9(a+b+c)$
Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Đúng(1)

M

MARKTUAN

25 tháng 7 2017 - olm

cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn 1/a+1/b+1/c=3.

c/m: căn (a+b) +căn(b+c)+căn(c+a)>=3 căn 2

#Toán lớp 9

1

TA

Thiên An

6 tháng 8 2017

Cần c/m: $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\ge3\sqrt{2}$

Mặt khác $\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\right)\ge9$

Nên ta chỉ cần c/m $P=\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\le\frac{9}{3\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Ta có

$P.\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right).2}}+\frac{1}{\sqrt{\left(b+c\right).2}}+\frac{1}{\sqrt{\left(c+a\right).2}}$

$=\sqrt{\frac{1}{a+b}}.\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{b+c}}.\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{c+a}}.\sqrt{\frac{1}{2}}$

$\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\frac{3}{4}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+\frac{3}{4}$

$=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}.3+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

Suy ra $P\le\frac{3}{2}:\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

BĐT được c/m

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Đúng(0)

NT

Nguyễn thị Ngọc Ánh

20 tháng 2 2020 - olm

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$ . Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a+b+c = 3 . Chứng minh rằng:

$\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3$

#Toán lớp 8

2

KS

Kudo Shinichi

20 tháng 2 2020

1 .

Từ gt : $2ab+6bc+2ac=7abc$và $a,b,c>0$

Chia cả hai vế cho abc > 0

$\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7$

Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\2z+6x+2y=7\end{cases}}$

Khi đó : $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

$=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}$

$\Rightarrow C=\frac{4}{2x+y}+2x+y+\frac{9}{4x+z}+4x+z+\frac{4}{y+z}+y+z$$-\left(2x+y+4x+z+y+z\right)$

$=\left(\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z}\right)^2$$+\left(\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z}\right)^2+17\ge17$

Khi $x=\frac{1}{2},y=z=1$thì $C=17$

Vậy GTNN của C là 17 khi a =2; b =1; c = 1

Đúng(0)

KS

Kudo Shinichi

20 tháng 2 2020

2 .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :$1+b^2\ge2b$nên

$\frac{a+1}{1+b^2}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}$

$\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

$\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}\ge a+1-\frac{ab+b}{2}\left(1\right)$

Tương tự ta có:

$\frac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}\left(2\right)$

$\frac{c+1}{1+a^2}\ge c+1-\frac{ca+a}{2}\left(3\right)$

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:

$\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\left(^∗\right)$

Mặt khác : $3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9$

$\Rightarrow\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\ge0$

Nên $\left(^∗\right)$ $\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3\left(đpcm\right)$

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Chúc bạn học tốt !!!

Đúng(0)

VN

VUX NA

25 tháng 8 2021

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1

Chứng minh rằng : $\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}$ ≤ $\dfrac{1}{2}$

#Toán lớp 9

1

RH

Rin Huỳnh

29 tháng 5 2022

$Áp\ dụng\ BĐT\ AM - GM,\ ta\ có: \\\sum\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}=\sum\dfrac{1}{(a^2+b^2)+(b^2+1)+2}\le\sum\dfrac{1}{2ab+2b+2} \\=\dfrac{1}{2}\sum\dfrac{1}{ab+b+1}=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2} \\Đẳng\ thức\ xảy\ ra\ khi\ a=b=c=1.$

Đúng(1)

TK

toán khó mới hay

10 tháng 11 2017 - olm

cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = $\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}$

#Toán lớp 9

1

AN

alibaba nguyễn

11 tháng 11 2017

Ta có:

$\frac{a+1}{1+b^2}=a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{1+b^2}\ge a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\left(1\right)$

Tương tụ ta có:

$\hept{\begin{cases}\frac{\left(b+1\right)}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}\left(2\right)\\\frac{\left(c+1\right)}{1+a^2}\ge c+1-\frac{ca+a}{2}\left(3\right)\end{cases}}$

Từ (1), (2), (3) ta có:

$M\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}$

$=3+3-\frac{ab+bc+ca+3}{2}$

$\ge\frac{9}{2}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=3$

Đúng(0)

QT

Quảng Trường Lê

28 tháng 3 2021

Câu hỏi hay

cho ba số thực dương a b c thỏa mãn ab+bc+ac≤1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết:

P= $\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2-abc}}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+c^2-abc}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+b^2-abc}}$

#Toán lớp 12

0

NV

Nguyễn Vương Phú

1 tháng 10 2021

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng abc (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) ≤ 8

#Toán lớp 8

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP