\(1/a + 1/b + 1/c = 1/abc\) chứng minh (a^2 +1 )(b^2+1) (c^1+1) là bình phương cùa một số
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
XO
21 tháng 1 2022
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{abc}\left(a;b;c\ne0\right)\)
<=> ab + bc + ca = 1
Thay ab + bc + ca = 1 vào A ta được
A = (a2 + ab + bc + ca)(b2 + ab + bc + ca)(c2 + ab + bc + ca)
= (a + b)(a + c)(b + c)(a + b)(b + c)(c + a)
= [(a + b)(b + c)(c + a)]2
=> A là bình phương của 1 số
PP
1
D
21 tháng 1 2022
- Cái này mình tham khảo chứ bó tay rồi :)
* Đặt x=a-b ; y=b-c ; z=c-a thì x+y+=a-b+b-c+c-a=0
* \(\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}\)=\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\)=\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2.\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}\right)\)=\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2.\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}\right)\)=\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\)=\(\left(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}\right)^2\)
4 tháng 8 2016
a # b # c # a, thỏa a/(b-c) + b/(c-a) + c/(a-b) = 0
<=> a(c-a)(a-b) + b(a-b)(b-c) + c(b-c)(c-a) = 0
<=> -a(a-b)(a-c) - b(b-a)(b-c) - c(c-a)(c-b) = 0
<=> a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) = 0 (*)
từ (*) ta thấy a, b, c đối xứng nên không giãm tính tổng quát giả sử: a > b > c
* Nếu a, b, c đều không âm, giả thiết trên thành a > b > c ≥ 0
(*) <=> (a-b)(a² - ac - b² + bc) + c(c-a)(c-b) = 0
<=> (a-b)[(a+b)(a-b) -c(a-b)] + c(c-a)(c-b) = 0
<=> (a-b)².(a+b-c) + c(a-c)(b-c) = 0 (1*)
thấy b - c > 0 (do b > c) và a > 0 => a+b-c > 0 => (a-b)².(a+b-c) > 0 và c(a-c)(b-c) ≥ 0
=> (a-b)².(a+b-c) + c(a-c)(b-c) > 0 mâu thuẩn với (1*)
Vậy c < 0 (nói chung là trong a, b, c phải có số âm)
* Nếu cả a, b, c đều không có số dương do giả thiết trên ta có: 0 ≥ a > b > c
(*) <=> a(a-b)(a-c) + (b-c)(b² - ab - c² + ca) = 0
<=> a(a-b)(a-c) + (b-c)[(b+c)(b-c) - a(b-c)] = 0
<=> a(a-b)(a-c) + (b-c)².(b+c-a) = 0 (2*)
a - b > 0; a - c > 0 => a(a-b)(a-c) ≤ 0 (vì a ≤ 0)
và b < 0; c - a < 0 => b + c -a < 0 => (b-c)².(b+c-a) < 0
=> a(a-b)(a-c) + (b-c)².(b+c-a) < 0 mẫu thuẩn với (2*)
chứng tỏ trong a, b, c phải có số dương
Tóm lại trong 3 số a, b, c phải có số dương và số âm
12 tháng 8 2017
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{abc}\)
\(\Rightarrow ab+ac+bc=1\)
Ta có :
\(1+a^2=ab+ac+bc+a^2=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
\(1+b^2=ab+ac+bc+b^2=a\left(b+c\right)+b\left(b+c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
\(1+c^2=ab+ac+bc+c^2=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(=\left[\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right]^2\) là bình phương của 1 số hữu tỉ (ĐPCM)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2022
Lời giải:
$a+b+c=abc$
$\Rightarrow a(a+b+c)=a^2bc$
$\Leftrightarrow a^2+ab+ac+bc=bc(a^2+1)$
$\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)\Leftrightarrow a^2+1=\frac{(a+b)(a+c)}{bc}$
Tương tự với $b^2+1, c^2+1$. Khi đó:
$Q=\frac{(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)}{bc.ac.ab}=[\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}]^2$ là bình phương 1 số hữu tỉ.
Ta có đpcm.
23 tháng 3 2022
\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-2.\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-2.\dfrac{a+b+c}{abc}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-2.\dfrac{0}{abc}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)
S
16 tháng 8 2018
Đặt \(\frac{a}{b^2}=x;\frac{b}{c^2}=y;\frac{c}{a^2}=z\) thì \(\frac{b^2}{a}=\frac{1}{x};\frac{a^2}{c}=\frac{1}{y};\frac{c^2}{b}=\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow xyz=\frac{a}{b^2}\cdot\frac{b}{c^2}\cdot\frac{c}{a^2}=1\)
Ta có: \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}=xy+yz+zx\)
Lại có: \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=1-x-y-z+x+y+z-1=0\)(vì xyz=1, xy+yz+zx=x+y+z)
=>x-1=0 hoặc y-1=0 hoặc z-1=0
=>x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
=>a/b2=1 hoặc b/c2=1 hoặc c/a2=1
=>a=b2 hoặc b=c2 hoặc c=a2 (ĐPCM)
S
16 tháng 8 2018
Cách khác
Ta có: \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{c}+\frac{c^2}{b}\)
<=>\(a^2b^2c^2\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\right)=abc\left(\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{c}+\frac{c^2}{b}\right)\) (a2b2c2=abc=1)
<=>\(\frac{a^3b^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^3c^2}{c^2}+\frac{a^2b^2c^3}{a^2}=\frac{ab^3c}{a}+\frac{a^3bc}{c}+\frac{abc^3}{b}\)
<=>\(a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2=b^3c+a^3b+c^3a\)
<=>\(a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2-b^3c-a^3b-c^3a-a^2b^2c^2+abc=0\) (a2b2c2=abc=1)
<=>\(\left(a^3c^2-a^2b^2c^2\right)+\left(b^3a^2-a^3b\right)+\left(c^3b^2-c^3a\right)+\left(abc-b^3c\right)=0\)
<=>\(-a^2c^2\left(b^2-a\right)+a^2b\left(b^2-a\right)+c^3\left(b^2-a\right)-bc\left(b^2-a\right)=0\)
<=>\(\left(b^2-a\right)\left(-a^2c^2+a^2b+c^3-bc\right)=0\)
<=>\(\left(b^2-a\right)\left[c^2\left(c-a^2\right)-b\left(c-a^2\right)\right]=0\)
<=>\(\left(b^2-a\right)\left(c^2-b\right)\left(c-a^2\right)=0\)
Đến đây dễ rồi