Question

[Nguyen Tuan Dung]

cho abc=1

\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{c}+\frac{c^2}{b}\)

chứng minh :Trong 3 số có 1 số là bình phương của 1 số trong 2 số còn lại

Answer 1

[ST]

Đặt \(\frac{a}{b^2}=x;\frac{b}{c^2}=y;\frac{c}{a^2}=z\) thì \(\frac{b^2}{a}=\frac{1}{x};\frac{a^2}{c}=\frac{1}{y};\frac{c^2}{b}=\frac{1}{z}\)

\(\Rightarrow xyz=\frac{a}{b^2}\cdot\frac{b}{c^2}\cdot\frac{c}{a^2}=1\)

Ta có: \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}=xy+yz+zx\)

Lại có: \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=1-x-y-z+x+y+z-1=0\)(vì xyz=1, xy+yz+zx=x+y+z)

=>x-1=0 hoặc y-1=0 hoặc z-1=0

=>x=1 hoặc y=1 hoặc z=1

=>a/b²=1 hoặc b/c²=1 hoặc c/a²=1

=>a=b² hoặc b=c² hoặc c=a² (ĐPCM)

Answer 2

[ST]

Cách khác

Ta có: \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{c}+\frac{c^2}{b}\)

<=>\(a^2b^2c^2\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\right)=abc\left(\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{c}+\frac{c^2}{b}\right)\) (a²b²c²=abc=1)

<=>\(\frac{a^3b^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^3c^2}{c^2}+\frac{a^2b^2c^3}{a^2}=\frac{ab^3c}{a}+\frac{a^3bc}{c}+\frac{abc^3}{b}\)

<=>\(a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2=b^3c+a^3b+c^3a\)

<=>\(a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2-b^3c-a^3b-c^3a-a^2b^2c^2+abc=0\) (a²b²c²=abc=1)

<=>\(\left(a^3c^2-a^2b^2c^2\right)+\left(b^3a^2-a^3b\right)+\left(c^3b^2-c^3a\right)+\left(abc-b^3c\right)=0\)

<=>\(-a^2c^2\left(b^2-a\right)+a^2b\left(b^2-a\right)+c^3\left(b^2-a\right)-bc\left(b^2-a\right)=0\)

<=>\(\left(b^2-a\right)\left(-a^2c^2+a^2b+c^3-bc\right)=0\)

<=>\(\left(b^2-a\right)\left[c^2\left(c-a^2\right)-b\left(c-a^2\right)\right]=0\)

<=>\(\left(b^2-a\right)\left(c^2-b\right)\left(c-a^2\right)=0\) 

Đến đây dễ rồi