Chứng minh rằng phương trình: x 5 − 5 x – 1 = 0 có ít nhất ba nghiệm
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
Chứng minh rằng phương trình x 5 – 3 x 4 + 5 x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng - 2 ; 5
1
CM
29 tháng 5 2018
Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2
f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.
Ta có: f(0) = –2 < 0
f(1) = 1 > 0
f(2) = -8 < 0
f(3) = 13 > 0
⇒ f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < 0
⇒ Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2); 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3)
⇒ f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (0; 3) hay f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 5).
20 tháng 5 2019
* Giả sử cả 3 pt đều có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ta có :
pt \(x^2-2ax+b=0\) (1) có \(\Delta_1'=\left(-a\right)^2-b=a^2-b\le0\)
pt \(x^2-2bx+c=0\) (2) có \(\Delta_2'=\left(-b\right)^2-c=b^2-c\le0\)
pt \(x^2-2cx+a=0\) (3) có \(\Delta_3'=\left(-c\right)^2-a=c^2-a\le0\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)\le0\) (*)
Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)>0\\b\left(3-b\right)>0\\c\left(3-c\right)>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a>a^2\\3b>b^2\\3c>c^2\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)< 3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)=6>0\)
trái với (*)
Vậy có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt
cái kia chưa bt làm -_-
PT
1
CM
22 tháng 3 2018
Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
- Xét hàm số: f ( x ) = 2 x 3 - 5 x 2 + x + 1 là hàm đa thức.
⇒ Hàm số f liên tục trên R.
- Ta có:
có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (0;1).
có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (2;3).
- Mà c ≠ c 2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
PL
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2023
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2-m+1\right)x^4-3x^3-1\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(f\left(3\right)=81\left(m^2-m+1\right)-55=81\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{23}{4}>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(3\right)< 0\Rightarrow\) pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;3\right)\)
\(f\left(-1\right)=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow\) pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\)
\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 2 nghiệm thuộc \(\left(-1;3\right)\Rightarrow\) có ít nhất 2 nghiệm trên \(\left(-5;5\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 3 2021
Đặt \(f\left(x\right)=x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục trên R
Ta có: \(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(f\left(-1\right)=m^2+1>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0\) ;\(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\) (đpcm)
CD
26 tháng 2 2022
nếu bài này mà chứng minh có 3 nghiệm thì mình phải làm như thế nào ạ..?
29 tháng 8 2020
x2+ax+1=0
Δ1=a²−4
x2+bx+1=0
Δ2=b²−4
Do ab≥4 nên có ít nhất 1 trong 2 số aa và b≥2
→ Hoặc Δ1=a²−4≥0
→ Hoặc Δ2=b²≥0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2022
Đặt \(f\left(x\right)=x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\)
Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^5\left(1+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{m^2+2}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)=+\infty.1=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại \(a>0\) sao cho \(f\left(a\right)>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(a\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)
\(f\left(-1\right)=m^2+1>0;\forall m\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^5\left(1+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{m^2+2}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)=-\infty.1=-\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại \(b< 0\) sao cho \(f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(b\right).f\left(-1\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-1\right)\)
Vậy pt đã cho luôn có ít nhất 3 nghiệm thực
PT
1
Xét hàm số f ( x ) = x 5 − 5 x – 1 trên các đoạn [−2; −1], [−1; 0], [0; 3]