K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 9

Lời giải:

Với $x,y,z\in\mathbb{N}^*$ ta có:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$

Lại có:

Xét hiệu: $\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$

Hoàn toàn tương tự ta có:

$\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}$

$\frac{z}{x+z}< \frac{z+y}{x+y+z}$

Cộng theo vế ta được:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(2)$

Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 9

Lời giải:

Với $x,y,z\in\mathbb{N}^*$ ta có:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$

Lại có:

Xét hiệu: $\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$

Hoàn toàn tương tự ta có:

$\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}$

$\frac{z}{x+z}< \frac{z+y}{x+y+z}$

Cộng theo vế ta được:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(2)$

Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.

16 tháng 12 2019

\(Q=\Sigma\frac{x^2}{xy^2z}+\frac{x^5}{y}+\frac{y^5}{z}+\frac{z^5}{x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+4\sqrt[4]{\frac{x^5y^5z^5}{xyz}.\frac{1}{16}}-\frac{1}{16}\)

\(=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+2xyz-\frac{1}{16}=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+32xyz+32xyz-62xyz-\frac{1}{16}\)

\(\ge5\sqrt[5]{\frac{1}{\left(xyz\right)^2}.32^2\left(xyz\right)^2}-\frac{62}{27}\left(x+y+z\right)^3-\frac{1}{16}=20-\frac{31}{4}-\frac{1}{16}=\frac{195}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

14 tháng 8 2016

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{z}};y+z\ge2\sqrt{yz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}};z+x\ge2\sqrt{xz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}.\)( vì xyz=1)

=> P\(\ge\)\(\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\)\(\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\\b=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\\c=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\end{cases}\left(a;b;c\ge0\right)}\)<=> \(\hept{\begin{cases}4a+b=2c+9z\sqrt{z}\\4b+c=2a+9x\sqrt{x}\\4c+a=2b+9y\sqrt{y}\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}z\sqrt{z}=\frac{4a+b-2c}{9}\\x\sqrt{x}=\frac{4b+c-2a}{9}\\y\sqrt{y}=\frac{4c+a-2b}{9}\end{cases}}\)

Do đó:

\(\ge\)\(\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}+\frac{4c+a-2b}{b}\right)\)

<=> P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\left(4\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)-6\right)\)

<=> P \(\ge\frac{2}{9}\cdot\left(4\cdot3\cdot\sqrt[3]{\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}}-6\right)\)( Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ko âm)

<=> P \(\ge\frac{2}{9}\left(12+3-6\right)=2\)( đpcm)

Dấu = khi x=y=z=1.

NV
2 tháng 11 2020

Đặt vế trái là P

Ta có: \(P\ge\frac{x^2+1}{1+\frac{y^2+1}{2}+z^2}+\frac{y^2+1}{1+\frac{z^2+1}{2}+x^2}+\frac{z^2+1}{1+\frac{x^2+1}{2}+y^2}\)

Đặt \(\left(x^2+1;y^2+1;z^2+1\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a;b;c\ge1\)

\(P\ge\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}=2\left(\frac{a^2}{ab+2ac}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ca+2bc}\right)\)

\(P\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{6\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

30 tháng 4 2019

p= 1+2 : 1 + 3 x 2 +1 + 2 : 1 + 3 + 4 + 1 +2 : 1 + 2 + 3

=  30

22 tháng 6 2019

Ta chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{2}\)

Tương tự và cộng lại

\(\Rightarrow VT\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz=3\)

22 tháng 6 2019

chứng minh kiểu j vậy bạn ? , Chỉ mình rõ hơn được không ?