Question

[Nguyễn Đức An]

Tìm các hằng số a; b sao cho:

a)x\(^4\)+ax\(^2\)+b chia hết cho x\(^2\)-x+1

b)ax\(^3\)+bx\(^2\)+5x-50 chia hết cho x\(^2\)+3x-10

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

a) Đặt f(x) = x⁴ + ax² + b

          g(x) = x² - x + 1

          h(x) là thương trong phép chia f(x) cho g(x)

Ta có : f(x) bậc 4 ; g(x) bậc 2 => h(x) bậc 2

=> h(x) có dạng x² + cx + d

f(x) chia hết cho g(x) <=> f(x) = g(x).h(x)

<=> x⁴ + ax² + b = ( x² - x + 1 )( x² + cx + d )

<=> x⁴ + ax² + b = x⁴ + cx³ + dx² - x³ - cx² - dx + x² + cx + d

<=> x⁴ + ax² + b = x⁴ + ( c - 1 )x³ + ( d - c + 1 )x² + ( c - d )x + d

Đồng nhất hệ số ta có :

c - 1 = 0 ; a = d - c + 1 ; c - d = 0 ; b = d

=> a = b = c = d = 1

Vậy a = b = 1

Answer 2

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

b) Đặt f(x) = ax³ + bx² + 5x - 50

           g(x) = x² + 3x - 10 = x² - 2x + 5x - 10 = x( x - 2 ) + 5( x - 2 ) = ( x - 2 )( x + 5 )

f(x) chia hết cho g(x) <=> ax³ + bx² + 5x - 50 chia hết cho ( x - 2 )( x + 5 )

=> \(\hept{\begin{cases}\left(ax^3+bx^2+5x-50\right)⋮\left(x-2\right)\left[1\right]\\\left(ax^3+bx^2+5x-50\right)⋮\left(x+5\right)\left[2\right]\end{cases}}\)

Áp dụng định lí Bézout vào [ 1 ] ta có :

f(x) chia hết cho ( x - 2 ) <=> f(2) = 0

=> 8a + 4b + 10 - 50 = 0

=> 8a + 4b = 40

=> 2a + b = 10 (1)

Áp dụng định lí Bézout vào [ 2 ] ta có :

f(x) chia hết cho ( x + 5 ) <=> f(-5) = 0

=> -125a + 25b - 25 - 50 = 0

=> -125a + 25b = 75

=> -5a + b = 3 (2)

Từ (1) và (2) => \(\hept{\begin{cases}2a+b=10\\-5a+b=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=8\end{cases}}\) 

Vậy ...