Cho hình thoi ABCD đường cao AH. Cm \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{BD^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
28 tháng 8 2017
Kẻ OE,OF,OG,OH lần lượt là đg cao của các tam giác vuông DOC,AOB,AOD,BOC.
Vì OE=OF=OG=OH=h
và:AC=m;OA=OC-->OA=OC=m/2
tg tự với DB=n;DO=DB ta cũng có:
DO=OB=n/2
Xét tam giác vuông AOB (O= 90 độ do hình thoi có 2 đg chéo vuông góc)
và OF là đường cao có:
1/OF2 =1/OA^2+1/OB^2
-->1/h^2=1/\(\left(\frac{m}{2}\right)\)^2+1/(n/2)^2 (1)
CM tương tự vs các tam giác vuông còn lại đều đc kquar như trên đánh số (1),(2),(3),(4)
Cộng (1),(2), (3),(4) ta đc:4/h^2 =16/m^2+16/n^2
Chia cả 2 vế cho 16 ta đc điều phải cm
CV
21 tháng 6 2018
A D B C H
qua A kẻ đường thẳng // với DB và giao CB tại K
ta có : tứ giác akbd là hình bình hành (do ak//db,ad//bk)
=>ak=bd=n
ta co: ak//bd
mà bd vuông góc với ac => ak vuông goc với ac
xet tam giac vuong ack co:
\(\frac{1}{ah^2}\)=\(\frac{1}{ac^2}\)+\(\frac{1}{ak^2}\)
hay 1/h^2=1/m^2+1/n^2
QT
0
PN
13 tháng 7 2020
+ Qua C kẻ đg thẳng vuông góc với AC và cắt AD tại I
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của O,C trên AD.
+ OD là đg trung bình của t/g ACI
=> CI = 2 OD = BD = n
+ OH là đg trung bình của t/g ACK
=> CK = 2 OH = 2h
+ t/g ACI vuông tại C, đg cao CK
Suy ra \(\frac{1}{CK^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{CI^2}\)
\(< =>\frac{1}{\left(2h\right)^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\)
\(< =>\frac{1}{4h^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
29 tháng 8 2019
a) Bn có thể áp dụng hệ thức trong tam giác vuông hoặc bn sd tam giác đồng dạng :
Cách 1 :Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HCA\) có :
\(\widehat{BAC}=\widehat{CHA}=90^o;\widehat{ABC}=\widehat{HCA}\)
=> \(\Delta ABC\) ~ \(\Delta HCA\)
=> \(\frac{AC}{HC}=\frac{BC}{CA}\Rightarrow AC^2=HC.BC\)
Cách 2 : Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH
\(\Rightarrow AC^2=HC.BC\)
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A
=> \(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\)
=> \(BC=10\) cm
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH
=> AB . AC = AH . BC
=> AH = 4,8 cm
c) Xet \(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH
=> \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)
Ta có
\(\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{BD^2}=\frac{AC^2+BD^2}{\left(AC.BD\right)^2}\)
\(S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{2}\Rightarrow2.S_{ABCD}=AC.BD\Rightarrow4.S^2_{ABCD}=\left(AC.BD\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{BD^2}=\frac{AC^2+BD^2}{4.S^2_{ABCD}}\) (*)
Mà
\(S_{ABCD}=\frac{\left(AB+CD\right).AH}{2}=\frac{2.AB.AH}{2}=AB.AH\) (AB=CD theo t/c hình thoi)
\(\Rightarrow S^2_{ABCD}=AB^2.AH^2\)(1)
Xét tg vuông AOB ta có
\(AB^2=AO^2+BO^2=\left(\frac{AC}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2=\frac{AC^2+BD^2}{4}\) Thay vào (1)
\(\Rightarrow S^2_{ABCD}=\frac{\left(AC^2+BD^2\right).AH^2}{4}\Rightarrow4.S^2_{ABCD}=\left(AC^2+BD^2\right).AH^2\) Thay vào (*)
\(\Rightarrow\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{BD^2}=\frac{AC^2+BD^2}{\left(AC^2+BD^2\right).AH^2}=\frac{1}{AH^2}\left(dpcm\right)\)