Cho \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}\) và \(a\ne b\ne c\). Tính \(M=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ \(a+b+c=0\) bạn tự chứng minh \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Đặt \(M=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\)
\(M.\frac{c}{a-b}=1+\frac{c}{a-b}\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)=1+\frac{c}{a-b}\frac{\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab}\)
\(=1+\frac{2c^2}{ab}=1+\frac{2c^3}{abc}\)
Tương tự, ta có: \(A=3+\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+6=9\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b+b+c+c+a}{c+a+b}=2\)
Vậy ta có: \(a+b=2c;b+c=2a;c+a=2b\)
Thay vào biểu thức ta có:
\(A=\frac{a}{2a}+\frac{2c}{c}\)
\(=2+2=4\)
Vậy \(A=4\)
Cái này mới đúng nè:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b+b+c+c+a}{c+a+b}=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a+b}{c}=2\\\frac{a}{b+c}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)
Ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow ad=bc\)
\(\Rightarrow ac-ad=ac-bc\)
\(\Rightarrow a\left(c-d\right)=c\left(a-b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)
Vậy \(\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=a+c\\2c=a+b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}=2+2+2=6\)
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2a\\a+c=2b\\a+b=2c\end{cases}}\)
Ta có: \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}=a+b+c\)
áp dụng tính chất dẫy tỉ số = nhau ta được
b+c+d/a=c+d+a/b=a+b+d/c=a+b+c/d= b+c+d+c+d+a+a+b+d+a+b+c / a+b+c+d = 3
do b+c+d/a=c+d+a/b=a+b+d/c=a+b+c/d = k
suy ra k =3 .đơn giản vậy thôi
Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(tm\right)\\a=b=c\left(loai\right)\end{cases}}\)
Rút gọn P
\(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)}{abc}\)
Xét : ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) = ab[-(b-c)-(c-a)] + bc(b-c) + ac(c-a)
= (b-c)(bc-ab) + (c-a)(ac-ab) = b(b-c)(c-a) + a(c-a)(c-b) = (c-a)(c-b)(a-b)
\(\Rightarrow P=\frac{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)}{abc}\)
Rút gọn Q
Đặt a - b = z ; b-c = x ; c - a = y
\(\Rightarrow\)x- y = a + b - 2c = -c - 2c = -3c ( do a + b + c = 0 )
y - z = -3a ; z - x = -3b
\(\Rightarrow\)\(-3Q=\frac{\left(y-z\right)}{x}+\frac{\left(z-x\right)}{y}+\frac{\left(x-y\right)}{z}\)
Làm tương tự như rút gọn P, ta có :
\(-3Q=\frac{\left(x-y\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)}{xyz}=\frac{-\left(-3a\right)\left(-3b\right)\left(-3c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{27abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{-27abc}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Rightarrow Q=\frac{9abc}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Rightarrow PQ=9\)
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2.\)
\(\Rightarrow M=2+2+2=6\)