Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành tâm O ; M ∈ SC, (α) qua AM và // BD
a) Chứng minh: (α) luôn đi qua 1 đường thẳng cố định
b) H là giao điểm của (α) và SB ; K là giao điểm của (α) và SD. Chứng minh:
\(\frac{SB}{SH}+\frac{SD}{SC}-\frac{SC}{SM}\) = không đổi
Trong tam giác A'BC, có IJ là đường trung bình
\(\Rightarrow IJ//BC\Rightarrow IJ//\left(ABC\right)\)
Qua O kẻ đường thẳng song song BC lần lượt cắt AB và AC tại E và F
\(\Rightarrow EF\in\left(IJO\right)\)
Trong mặt phẳng (ABB'A'), nối EI kéo dài cắt A'B' tại P
Trong mặt phẳng (ACC'A'), nối JF kéo dài cắt A'C' tại Q
\(\Rightarrow PQFE\) là tiết diện của (IJO) và lăng trụ
Mặt khác (ABC) và (A'B'C') là 2 mp song song nên \(PQ//EF\), do tính đối xứng của hai hình vuông ABB'A' và ACC'A' nên EP=FQ
\(\Rightarrow PQFE\) là hình thang cân
O là trọng tâm đáy \(\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow AE=AF=EF=\frac{2a}{3}\)
Talet \(\Rightarrow\frac{CF}{A'Q}=\frac{A'J}{JC}=1\Rightarrow A'Q=CF=\frac{a}{3}\)
Tương tự có \(A'P=\frac{a}{3}\Rightarrow PQ=\frac{a}{3}\)
Lấy K trên AB sao cho \(AK=\frac{a}{3}\Rightarrow PK||AA'\Rightarrow PK\perp AB\) và \(PK=AA'=a\)
\(EP=\sqrt{PK^2+EK^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{a}{3}\right)^2}=\frac{a\sqrt{10}}{3}\)
Hình thang cân có đủ 3 kích thước (2 cạnh đáy, cạnh bên), bạn tự tính diện tích ra nhé