Question

[Trà My]

Cho tam giác ABC nhọn nối tiếp (O) đường kính AD. Các đường cao AE,BF,CK cắt nhau tại H

a)Cm: BHCD là hình bình hành

b)I là trd của BC

Cm:AH=2IO

c)G là trọng tâm cảu tam giác ABC

Cm:G là trọng tâm của tam giác HAD

 

Answer 1

[Nguyễn Phương Uyên]

a, xét (O) đk AD; C thuộc (O) (gt) => ^DCA = 90 (định lí) => DC _|_ AC (đn) mà có BF _|_ AC (Gt)  => BF // DC (đl)     (1)

xét (O) đk AD; B thuộc (O) (gt) => ^ABD = 90 (đl) => AB _|_ BD (đn) mà có CK _|_ AB (gt) =>  CK // BD (Đl)          (2)

(1)(2) ; xét tg HCDB => HCDB là hbh (đn)

b,  

HCBD là hbh (câu a) 

=> BC cắt HD tại trđ của mỗi đường (tc) mà có I là trđ của BC (gt) 

=> I là trđ của HD ; lại có O là trđ của AD do (O) đk AD (Gt) ; xét tg AHD

=> OI là đtb của tg AHD (đn)

=> OI = 1/2AH (Tc)

=> AH = 2OI

c, OI là đtb của tg AHD (Câu b) => OI // AH (tc)  mà ^HAG slt ^GIO 

=> ^HAG = ^GIO (đl)                                                                                           (*)

có G là trọng tâm của tg ABC (gt) => AG = 2/3AI (Đl) mà AG + GI = AI 

=> GI = 1/3AI

=> AG = 2GI ; có AH = 2OI (câu b)

=> AG/AH = GI/OI    và (*) xét tg GHA và tg GOI 

=> tg GHA đồng dạng với tg GOI (c-g-c)

=> ^AGH = ^OGI (đn)

mà ^AGH + ^HGI =180 do A;G;I thẳng hàng

=> ^OGI + ^HGI = 180

=> ^HGO =180 => H;G;O thẳng hàng

có AI; HO là đtt của tg HAD do gì thì dễ mà AI cắt HO tại G

=> G là trọng tâm của tg HAD (dl

Answer 2

[ninja(team GP)]

gọi O là trung điểm BC=> O cố định
trọng tâm G là giao của BM và AO
theo tính chất trọng tâm:
+BG=(2/3)BM=2/3 cm=>G thuộc đường tròn (B ; 2/3)
+ vtOA= 3vtOG
trong phép vị tự V(O ; 3) : G------>A
=>A chạy trên đường tròn ảnh của (B;2/3) trong phép vị tự trên

3.

a)

tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) N là trung điểm của BC (gt) nên MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN//AC, MN=1/2AC (1) tam giác DAC có K là trung điểm của AD (gt) H là trung điểm của DC (gt) nên KH là đường trung bình của tam giác DAC => KH//AC, KH=1/2AC (2) từ (1) và (2) ta có MN//KH, MN=KH suy ra tứ giác MNHK là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ta có BD vuông góc với AC (gt) MN//AC ( chứng minh trên) suy ra MN vuông với BD tam giác ABD có MK là đường trung bình của tam giác => MK//BD suy ra MN vuông với MK hay ^NMK= 90 độ hình bình hành MNHK có một góc vuông nên là hình chữ nhật gọi O là giao điểm hai đường chéo của MH và NK ta có OM = ON= OH= OK nên bốn điểm M,N,H,K thuộc cùng một đường tròn (tâm O , bán kính OM)

b)

ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN=1/2AC = 1/2.12 = 6 cm ta có NH là đường trung bình của tam giác CBD => NH= 1/2BD = 1/2.16 = 8 cm áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông NMH ta có MH^2= MN^2+NH^2 = 6^2+8^2 = 36+84 = 100 cm => MH= 10 cm ta có OM= ON= MH/2= 10/2 = 5 cm vậy bán kính của đường tròn bằng 5 cm

8.

a)

tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) N là trung điểm của AC (gt) nên MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN//AC, MN=1/2AC (1) tam giác ADC có P là trung điểm của CD (gt) Q là trung điểm của AD (gt) nên PQ là đường trung bình của tam giác ADC => PQ// AC, PQ= 1/2AC (2) từ (1) và (2) suy ra MN// PQ, MN= PQ vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành ta có AC vuông góc với BD (tính chất hình thoi) MN// AC (cmt) suy ra MN vuông góc với BD tam giác ABD có MQ là đường trung bình của tam giác ABD => MQ// BD suy ra MQ vuông góc với MN hay ^NMQ= 90 độ hình bình hành MNPQ có một góc vuông nên là hình chữ nhật gọi O là trung điểm của hai đường chéo MP và NQ ta có OM= ON= OP= OQ nên bốn điểm M,N,P,Q thuộc cùng một đường tròn tâm O