Question

[Trí Phạm]

Cho ΔABC có 3 góc nhọn. Từ một điểm I thuộc miền trong tam giác kẻ IH, IK, IL lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Tìm vị trí điểm I sao cho \(AL^2+BH^2+CK^2\) nhỏ nhất.

Answer 1

[Nguyễn Lê Diễm My]

* Tự vẽ hình nha:

Xét các tam giác vuông ALI và AKI ta có:

AL² + LI² = AI² = AK² + KI²

BH² + IH² = BI² = BL² + LI²

CK² + KI² = CI² = CH² + IH²

=> AL² + BH² + CK² = AK² + CH² + BL²

=> 2(AL² + BH² +CK²) = (AL² + LB²) + (BH² + HC²) + (CK² + KA²)

≥ \(\frac{\left(AL+LB\right)^2}{2}+\frac{\left(BH+HC\right)^2}{2}+\frac{\left(CK+KA\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\left(AB^2+BC^2+CA^2\right)\)

=> ( AL² + BH² + CK²) ≥ \(\frac{1}{4}\)(AB² + BC² + CA²)

Vậy min_{AL² + BH² + CK² ≥} \(\frac{1}{4}\)(AB² + BC² + CA²)

Dấu " = " xảy ra ⇔ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC