K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

17 tháng 7 2020

\(^{x^2-xy+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)

<=> \(4x^2-4xy+4y^2\ge x^2+2xy+y^2\)

<=> \(3x^2-6xy+3y^2\ge0\)

<=> \(x^2-2xy+y^2\ge0\)

<=> \(\left(x-y\right)^2\ge0\) bất đẳng thức đúng 

Vậy \(^{x^2-xy+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\) đúng

NV
14 tháng 3 2020

\(VT=\frac{\left(yz\right)^2}{x^2yz\left(y+z\right)}+\frac{\left(xz\right)^2}{zxy^2\left(x+z\right)}+\frac{\left(xy\right)^2}{xyz^2\left(x+y\right)}\)

\(VT=\frac{2\left(yz\right)^2}{xy+zx}+\frac{2\left(xz\right)^2}{xy+yz}+\frac{2\left(xy\right)^2}{xz+yz}\ge\frac{2\left(yz+xz+xy\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=xy+yz+zx\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)

29 tháng 4 2019

cảm ơn bạn nhiều

23 tháng 11 2019

Dễ dàng chứng minh được

+) \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)=xy\)

+) \(x^4+y^4\ge xy\left(x^2+y^2\right)\ge xy\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{xy}{2}\)

Khi đó \(P\ge6xy+8\cdot\frac{xy}{2}+\frac{5}{xy}=10xy+\frac{5}{xy}\)

\(=10xy+\frac{5}{8xy}+\frac{35}{8xy}\ge2\sqrt{\frac{10xy\cdot5}{8xy}}+\frac{35}{8\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=2\sqrt{\frac{50}{8}}+\frac{35}{8\cdot\frac{1}{4}}=\frac{45}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

24 tháng 1 2019

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{x^2+y^2}{2}\)

Suy ra: \(P=6\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+8\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(xy\right)^2\right]+\frac{5}{xy}\)

\(\ge6\left(1-\frac{3}{4}\right)+8\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)+\frac{5}{\frac{1}{4}}\) (Do x+y=1) \(\Rightarrow P\ge6-\frac{9}{2}+2-1+20=\frac{45}{2}\)(đpcm).

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2.

16 tháng 2 2020

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/910328.html

NV
11 tháng 2 2020

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2+2x+2y+2}{\left(1+x+y+xy\right)^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left[\left(x-y\right)^2+2\left(xy+x+y+1\right)\right]\ge\left(1+x+y+xy\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(1+x+y+xy\right)\left(2+2xy-1-x-y-xy\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(xy+1+x+y\right)\left(xy+1-x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(xy+1\right)^2-\left(x+y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+xy\left(x-y\right)^2+x^2y^2+1-x^2-y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2+\left(xy-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

27 tháng 4 2019

Theo GT : \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=3\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)

\(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x\left(x^2+z\right)}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)

Tương tự , ta có : \(\frac{y^3}{y^2+x}\ge y-\frac{\sqrt{x}}{2}\) ; \(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{\sqrt{y}}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+z}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge x+y+z-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}\)

Vì x ; y ; z dương , áp dụng BĐT Cô - si , ta có :

\(x+1\ge2\sqrt{x};y+1\ge2\sqrt{y};z+1\ge2\sqrt{z}\)

\(\Rightarrow x+y+z+3\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

=> \(\frac{x+y+z+3}{2}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\) => BĐT được c/m

Tiếp tục AD BĐT Cô - si , ta có :

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{9}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\frac{9}{3}=3\) => BĐT được c/m

Có : \(\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+x}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge x+y+z-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{2}\ge\frac{3.3-3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy ...