Question

[Shiroemon]

Cho tam giác ABC có gocs A= 60 độ, về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm AD, AE, BC. CMR tam giác MNP đều.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Ta có: ΔADB đều(gt)

⇒\(\widehat{ABD}=60^0\)(số đo của một góc trong ΔADB đều)

Ta có: \(\widehat{ABD}=\widehat{BAC}\)(=60⁰)

mà \(\widehat{ABD}\) và \(\widehat{BAC}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên BD//AC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Xét tứ giác ADBC có BD//AC(cmt)

nên ADBC là hình thang(định nghĩa hình thang)

Xét hình thang ADBC có

M là trung điểm của cạnh bên AD(gt)

P là trung điểm của cạnh bên BC(gt)

Do đó: MP là đường trung bình của hình thang ADBC(định nghĩa đường trung bình của hình thang)

⇒\(MP=\frac{DB+AC}{2}\) và MP//DB(định lí 2 về đường trung bình của hình thang)

mà DB=AB(ΔADB đều)

nên \(MP=\frac{AB+AC}{2}\)(1)

Ta có: ΔACE đều(gt)

⇒\(\widehat{ACE}=60^0\)(số đo của một góc trong ΔACE đều)

Ta có: \(\widehat{ACE}=\widehat{BAC}\left(=60^0\right)\)

mà \(\widehat{ACE}\) và \(\widehat{BAC}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//EC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Xét tứ giác ABCE có AB//EC(cmt)

nên ABCE là hình thang(định nghĩa hình thang)

Xét hình thang ABCE có

P là trung điểm của BC(gt)

N là trung điểm của AE(gt)

Do đó: PN là đường trung bình của hình thang ABCE(định nghĩa đường trung bình của hình thang)

⇒\(PN=\frac{AB+EC}{2}\) và PN//EC(định lí 2 về đường trung bình của hình thang)

mà EC=AC(ΔAEC đều)

nên \(PN=\frac{AB+AC}{2}\)(2)

Ta có: ΔADB đều(gt)

⇒\(\widehat{DAB}=60^0\)(số đo của một góc trong ΔADB đều)

Ta có: ΔAEC đều(gt)

⇒\(\widehat{EAC}=60^0\)(số đo của một góc trong ΔAEC đều)

Ta có: \(\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{EAC}\)

\(=60^0+60^0+60^0=180^0\)

hay D,A,E thẳng hàng

Ta có: D,A,E thẳng hàng(cmt)

⇒A nằm giữa D và E

hay DA+AE=DE

mà DA=AB(ΔADB đều)

và AE=AC(ΔAEC đều)

nên DE=AB+AC

⇒\(\frac{DE}{2}=\frac{AB+AC}{2}\)(3)

Ta có: DE=DA+AE(cmt)

mà \(DA=2\cdot MA\)(M là trung điểm của DA)

và \(AE=2\cdot AN\)(N là trung điểm của AE)

nên \(DE=2\cdot MA+2\cdot AN\)

\(\Leftrightarrow DE=2\cdot\left(MA+AN\right)\)

hay \(MN=\frac{DE}{2}\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(MN=\frac{AB+AC}{2}\)(5)

Từ (1), (2) và (5) suy ra MN=MP=PN

Xét ΔMNP có MN=MP=PN(cmt)

nên ΔMNP đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Answer 2

[Thu Thao]

Chưa học hình thang nên em hỏi nà :))

PN là đường tb của hình thang ABCE

Thì suy ra PN // EC để làm gì vậy anh? Khá là lười đọc mà đọc xong não không chịu tiêu thụ nên hỏi luôn cho nhanh :>>