Chứng minh
\(\sqrt{x^2+x+x}+\sqrt{x^2-x+1}\le2-\frac{x^2}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NA
1
2 tháng 11 2016
ĐKXĐ \(x\ge1\)
Ta có \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{\left(x-1\right)+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=\sqrt{x-1}+1+\left|\sqrt{x-1}-1\right|\)
Mình gợi ý đến đây thôi. Bạn kiểm tra lại đề bài nhé :)
KP
1
28 tháng 6 2018
\(2\le\sqrt{x}+\sqrt{4-x}\le2\sqrt{2}\) (1) (ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\4-x\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow0\le x\le4\))
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\le\sqrt{x}+\sqrt{4-x}\\\sqrt{x}+\sqrt{4-x}\le2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) (\(0\le x\le4\))
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4\le4+2\sqrt{x\left(4-x\right)}\\4+2\sqrt{x\left(4-x\right)}\le8\end{matrix}\right.\) (\(0\le x\le4\))
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x\left(4-x\right)}\ge0\\\sqrt{x\left(4-x\right)}\le2\end{matrix}\right.\)(\(0\le x\le4\))
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(4-x\right)\le4\\0\le x\le4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2\ge0\\0\le x\le4\end{matrix}\right.\) (đpcm)
HN
3 tháng 10 2017
\(A=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+\dfrac{1}{4}xy+y^2}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{y^2+\dfrac{1}{4}yz+z^2}}+\sqrt{\dfrac{z^2}{z^2+\dfrac{1}{4}zx+x^2}}\le2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{y}{4x}+\dfrac{y^2}{x^2}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{z}{4y}+\dfrac{z^2}{y^2}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{4z}+\dfrac{x^2}{z^2}}}\le2\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y}{x}=a\\\dfrac{z}{y}=b\\\dfrac{x}{z}=c\end{matrix}\right.\) thì bài toán thành
Chứng minh: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4b^2+b+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4c^2+c+4}}\le1\) với \(abc=1\)
Thử giải bài toán mới này xem sao bác.
3 tháng 10 2017
*C/m bài toán mới của HUngnguyen
Ta có BĐT phụ \(\dfrac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}\le\dfrac{a+1}{2\left(a^2+a+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\left(4a^2+a+4\right)\ge4\left(a^2+a+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right)^2\ge0\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{4b^2+b+4}}\le\dfrac{b+1}{2\left(b^2+b+1\right)};\dfrac{1}{\sqrt{4c^2+c+4}}\le\dfrac{c+1}{2\left(c^2+c+1\right)}\)
CỘng theo vế 3 BĐT trên ta có;
\(VT\le1=VP\) * Chỗ này tự giải chi tiết ra nhé, giờ bận rồi*
VH
10 tháng 10 2019
a, \(\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\)
\(=\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}+\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}\)
\(=\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}+1}+\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}+1}\)
\(=\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}+\frac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(3-\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)}{\left(3+\sqrt{3}\right)\left(3-\sqrt{3}\right)}\)
\(=\frac{6+\sqrt{3}-3+6-\sqrt{3}-3}{9-3}=\frac{6}{6}=1\)
b, \(\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{x-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x-1}\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1+2x-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}\left(x-1\right)}=\frac{2}{\sqrt{x}}\)
2 tháng 11 2016
ĐKXĐ : \(x\ge1\)
\(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}\)
\(=\sqrt{x-1}+1-\left|\sqrt{x-1}-1\right|\)
Xét các trường hợp :
1. Nếu \(1\le x\le2\)thì \(\sqrt{x-1}+1-\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\sqrt{x-1}+1-\left(1-\sqrt{x-1}\right)=2\sqrt{x-1}\le2\)
2. Nếu \(x>2\) thì
\(\sqrt{x-1}+1-\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\sqrt{x-1}+1-\sqrt{x-1}+1=2\)
Gộp hai trường hợp có đpcm.
