cho bất phương trình \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}+\sqrt{-x^2+6x-5}\ge m\left(1\right)\) Tìm giá trị lớn nhất của m để bất phương trình \(\left(2\right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\in\left[1;5\right]\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 6 2020
Đặt \(t=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\Rightarrow2\le t\le2\sqrt{2}\)
\(t^2=4+2\sqrt{-x^2+6x-5}\Rightarrow\sqrt{-x^2+6x-5}=\frac{t^2-4}{2}\)
BPT trở thành:
\(t+\frac{t^2-4}{2}\ge m\) ; \(\forall t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\) \(\Leftrightarrow m\le\min\limits_{\left[2;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)\)
Với \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\)
Ta có: \(-\frac{b}{2a}=-2\notin\left[2;2\sqrt{2}\right]\) ; \(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\min\limits_{\left[2;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)=2\Rightarrow m\le2\)
\(\Rightarrow m_{max}=2\)
HP
2 tháng 2 2021
\(x^2-2x+4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}-18+m\ge0\)
\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+2x+8\right)+4\sqrt{-x^2+2x+8}\ge10-m\left(1\right)\)
Đặt \(t=\sqrt{-x^2+2x+8}\left(0\le t\le3\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow10-m\le f\left(t\right)=-t^2+4t\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi
\(10-m\le minf\left(t\right)=min\left\{f\left(0\right);f\left(3\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(0\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m\ge10\)
Vậy \(m\ge10\)
11 tháng 4 2016
Ta có \(\sqrt{\left(m+2\right)x+m}\ge\left|x-1\right|\Leftrightarrow\left(m+2\right)x+m\ge x^2-2x+1\)
\(\Leftrightarrow m\ge\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) (vì \(x\in\left[0;2\right]\)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\) ta có
\(f'\left(x\right)=\frac{x^2+2x-5}{\left(x+1\right)^2};f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=-1+\sqrt{6}\)
Lập bảng biến thiên ta được
\(f\left(0\right)=1;f\left(2\right)=-1\)
\(f\left(-1+\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6}-6\)
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm thì \(m>\) min (0;2] \(f\left(x\right)=f\left(-1+\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6-6}\)
HP
12 tháng 3 2021
1.
Nếu \(m=0\), \(f\left(x\right)=2x\)
\(\Rightarrow m=0\) không thỏa mãn
Nếu \(x\ne0\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-4m^2< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{3}\)
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=t\Rightarrow t^2=4+2\sqrt{\left(5-x\right)\left(x-1\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(5-x\right)\left(x-1\right)}=\frac{t^2-4}{2}\)
\(\Rightarrow t+\frac{1}{2}t^2-2\ge m\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\ge0\\t=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\le\sqrt{\left(x-1+5-x\right)\left(1+1\right)}=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Bất phương trình trở thành:
Tìm giá trị lớn nhất của m để \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\ge m\) có nghiệm đúng với \(\forall t\in\left[0;2\sqrt{2}\right]\)
\(\Leftrightarrow m\le max_{\left[0;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\) trên \(\left[0;2\sqrt{2}\right]\)
Do \(-\frac{b}{2a}=-1\notin\left[0;2\sqrt{2}\right]\) nên cực trị rơi vào 2 đầu mút
\(f\left(0\right)=-2;f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow max_{\left[0;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)=f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow m\le2+2\sqrt{2}\Rightarrow m_{max}=2+2\sqrt{2}\)