Cho các số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2xy + xz + yz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 4 2019
*Max
Có: \(x^2+4\ge4x\)
\(y^2+4\ge4y\)
\(z^2+4\ge4z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+12\ge4\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow x+y+z\le\frac{x^2+y^2+z^2+12}{4}\)
Lại có \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)(Auto chứng minh)
Cộng 2 vế của bdtd lại ta đc \(x+y+z+xy+yz+zx\le\frac{5\left(x^2+y^2+z^2\right)+12}{4}\)
\(=\frac{5.12+12}{4}=18\)
"=" KHI x = y= z = 2
*Min : ta có : \(12+2\left(xy+yz+zx\right)\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge-6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x + y + z = 0
Với các giá trị trên ta đc \(x+y+z+xy+yz+zx\ge0-6=-6\)
Dấu "=" <=> x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 12
2 tháng 4 2019
bạn ơi mình giải thế này thì sao nhỉ:
đặt x+y+z=a=> \(a^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
=> \(xy+yz+zx=\frac{a^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}\ge\frac{a^2-12}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge a+\frac{a^2-12}{2}\ge-\frac{13}{2}\)( dùng hằng đẳng thức c/m)
dấu " =" <=> \(\hept{\begin{cases}x+y+z=-1\\x^2+y^2+z^2=12\end{cases}}\)
bạn xem thử hộ mik cái =)
TN
0
K
11 tháng 9 2021
Ta có \(\frac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}=\frac{x+2xy+xyz}{x+xy+xz+xyz}=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
Tương tự => \(M=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2z+zx}{\left(1+x\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2x+xy}{\left(1+x\right)\left(y+1\right)}\)
=> \(M=\frac{\left(1+2y+yz\right)\left(1+x\right)+\left(1+2z+zx\right)\left(1+y\right)+\left(1+2x+xy\right)\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)
=>\(M=\frac{6+3\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+xz\right)}{2+\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+xz\right)}=3\)
9 tháng 5 2019
2x + 2y + z = 4(1)
A = 2xy + yz + xz(2)
(1) z=2c<=>x+y=2-c($)
(2)<=>2xy+2yc+2cx=A
A=2B<=>xy +(x+y).c=B
xy=B-c(2-c)
($:%)=> ton tai nghiem x,y
(c-2)^2≥4[B+c(c-2)]
c^2-4c+4≥4B+4c^2-8c
-3c^2+4c≥4B-4
-3(c^2-2.2/3c+4/9)≥4B-4-4/3
-3(c-2/3)^2≥4B-16/3
=> B≤4/3
A≤8/3
dang thuc khi c=2/3; z=1/3
x=y=2/3
9 tháng 5 2019
A=2xy+yz+xzA=2xy+yz+xz
=2xy+y(4−2x−2y)+x(4−2x−2y)=2xy+y(4−2x−2y)+x(4−2x−2y)
=−2x2−2xy+4x−2y2+4y=−2x2−2xy+4x−2y2+4y
=[−(x2+2xy+y2)+83(x+y)−169]−(x2−43x+49)−(y−43y+49)+83=[−(x2+2xy+y2)+83(x+y)−169]−(x2−43x+49)−(y−43y+49)+83=−(x+y−43)2−(x−23)2−(y−23)2+83≤83=−(x+y−43)2−(x−23)2−(y−23)2+83≤83
Vậy Amax=83Amax=83 tại
LT
11
TM
23 tháng 4 2017
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
<=>\(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)<=>\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
<=>\(3^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)<=>\(P=xy+yz+zx\le3\)=>Pmax=3 <=> x=y=z=1
25 tháng 5 2018
Ta có BĐT đúng sau:
x2 + y2 + z2 >= xy + yz + zx
<=> (x + y + z)2 >= 3(xy + yz + zx)
<=> 9 >= 3 P <=> P <=3 (dấu bằng khi x = y = z =1)
Mik ko hiểu lắm, bạn có thể giải kĩ hơn có đc k?