Cho đuờng tròn tâm O có duong kính AB. Trên cùng nua mặt phăng có bờ là duong thang AB, ve các tiép tuyén Ax, By của duong tròn tâm O và một diêm C thuộc (O) (C khác A, B). Tiếp tuyến tại C của đuờng tròn (O) cat Ax và By lần luợt tại D, E.
a) Chứng minh: DE = AD + BE và C, O, B, E cung thuộc một duong tròn.
b) OE cat (O) lần lugt tại V, K và cắt BC tại L (V nåm giữa O và E). Chúng minh: LO . LE = LV. LK.
c ) \(\frac{1}{VL}-\frac{1}{VE}=\frac{2}{KV}\)
a.Vì DC,DA là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow DC=DA\)
Tương tự \(EC=EB\Rightarrow DE=DC+CE=AD+BE\)
Mà EC,EB là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow EC\perp OC,EB\perp OC\)
=> C,O,B,E cùng thuộc một đường tròn đường kính OE
b ) Ta có : EB,EC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow EO\perp CB=L\)
Mà VL là đường kính của (O)
\(\Rightarrow LK.LV=CL^2=LO.LE\)
c.Ta có :
\(\widehat{VCL}=\widehat{CBV}=\widehat{ECV}\) vì EC là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow CV\) là phân giác \(\widehat{ECL}\)
\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}=\frac{CL}{CE}\)
Lại có : \(\Delta CLE~\Delta OCE\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{CL}{CE}=\frac{OC}{OE}\)
Lại có : \(OC^2=OL.OE\Rightarrow\frac{OC}{OE}=\frac{OL}{OC}\)
\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}=\frac{OC}{OE}=\frac{OL}{OC}\)
\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}=\frac{OL}{R}\)
\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{OL}{R}+\frac{2VL}{KV}\)
\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{OL}{R}+\frac{2VL}{2R}\)
\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{OL}{R}+\frac{VL}{R}\)
\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{OL+VL}{R}\)
\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{R}{R}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{VL}-\frac{1}{VE}=\frac{2}{KV}\)