Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn a + b + c + d = 1. Chứng minh \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+d}+\sqrt{d+a}=2\sqrt{2}\)
Cảm ơn mọi người!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 12 2015
\(VT^2\ge\left(1+1+1+1\right)\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\right)\ge4.1=4\)
=> VT >/ 2
Dễ CM được \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\ge1\)
28 tháng 12 2015
\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\)
\(\ge\frac{a}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{b}{\frac{b+c+d+a}{2}}+\frac{c}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{d}{\frac{a+b+c+d}{2}}=2\)
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b + c+ d
b = c+d+a
c = b+a+d
d = a+b+c
Hình như ko có a ; b; c ;d
I
1 tháng 4 2020
mình nghĩ đề nó như thế này
\(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2-\left(b+d^{ }\right)^2}\)
hai zế BĐT ko âm nên bình phương 2 zế ta có
\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge ac+bd\left(1\right)\)
Nếu \(ac+bd< 0\)thì BĐT đc c/m
Nêu \(ac+bd\ge0\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge a^2c^2+b^2d^2+2acbd\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2acbd\)
\(\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2acbd\ge0\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
dấu = xảy ra khi \(ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
26 tháng 1 2016
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 4 số ta có:
\(\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+d}+1.\sqrt{d+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2+1^2\right)\left(2\left(a+b+c+d\right)\right)=8\)
\(\Rightarrow\)\(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+d}+1.\sqrt{d+a}\le2\sqrt{2}\)
Xảy ra đẳng thức khi \(\frac{1}{\sqrt{a+b}}=\frac{1}{\sqrt{b+c}}=\frac{1}{\sqrt{c+d}}=\frac{1}{\sqrt{d+a}}\)và a + b + c + d = 1 <=> a = b = c = d = 1/4
8 tháng 8 2017
Ta có BĐT phụ \(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}-1}\ge0\forall\dfrac{1}{4}< a< 0\)
Tương tự cho 3 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}\ge4b+1;\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}\ge4c+1;\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4d+1\)
Cộng theo vế 4 BĐT trên ta có:
\(VT\ge4\left(a+b+c+d\right)+4=8=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=d=\dfrac{1}{4}\)
8 tháng 8 2017
Ta cần chứng minh :
\(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\) \(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
\(\Leftrightarrow1+\sqrt{a}\ge\left(4a+1\right)\left(1-a\right)\)
\(\Leftrightarrow1+\sqrt{a}\ge4a-4a^2+1-a\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a-1+a+1+\sqrt{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^2-3a+\sqrt{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(4a^2-a\right)-\left(2a-\sqrt{a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-\sqrt{a}\right)\left(2a+\sqrt{a}\right)-\left(2a-\sqrt{a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-\sqrt{a}\right)\left(2a+\sqrt{a}-1\right)\ge0\)
Ta có: \(2a-\sqrt{a}=\left(\sqrt{2a}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2-\dfrac{1}{8}\ge0\) \(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
\(\left(2a+\sqrt{a}-1\right)=\left(\sqrt{2a}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\ge0\)
\(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
Vậy: \(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\) \(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}\ge4b+1\forall b\in\left(0;1\right)\)
\(\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}\ge4c+1\forall c\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
\(\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4d+1\forall d\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
Cộng các BĐT vừa chứng minh, ta được:
\(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}+\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}+\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}+\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4\left(a+b+c+d\right)+4=8\)
Vậy: Ta suy ra được điều phải chứng minh
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 3 2020
Đặt 4 căn thức lần lượt là \(\left(x;y;z;t\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+t^2=3\)
Ta cần chứng minh: \(x+y+z+t\le2\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(x+y+z+t\right)^2\le\left(1+1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)=12\)
\(\Rightarrow x+y+z+t\le2\sqrt{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
P/s: việc đặt chỉ để viết cho ngắn, còn thực chất bạn áp dụng luôn Buniacopxki cho 1 dòng cũng được