Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Trước hết ta chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\). Ta lại có:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Thiết lập các BĐT tương tự:
\(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c};\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge2\)
Dấu "=" không xảy ra nên ta có ĐPCM
Lưu ý: lần sau đăng từng bài 1 thôi nhé !
1) Áp dụng liên tiếp bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với a;b là 2 số dương ta có:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}}{4}\)\(\le\dfrac{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
TT: \(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
\(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{16}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=1\left(đpcm\right)\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)(1+1)\geq (a+\frac{1}{b})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{a+\frac{1}{b}}{\sqrt{2}}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{d^2}}+\sqrt{d^2+\frac{1}{a^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(a+b+c+d+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})\)
Mặt khác theo BĐT Cauchy:
\(a+\frac{1}{a}\geq 2; b+\frac{1}{b}\geq 2; c+\frac{1}{c}\geq 2; d+\frac{1}{d}\geq 2\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}.8=4\sqrt{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $4\sqrt{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=1$
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}=1\)
\(\Rightarrow a+1=a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
Tương tự: \(b+1=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(c+1=\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(VT=\sum\dfrac{\sqrt{a}}{a+1}=\sum\dfrac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}\)
\(=\dfrac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\dfrac{2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}\)
\(VP=\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^2\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}}\)
\(=\dfrac{2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}\)
\(\Rightarrow VT=VP\) (đpcm)
nhầm mọi người ơi chứng minh cho mình <=\(\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
Lời giải:
\(a+b+c=abc\Rightarrow a(a+b+c)=a^2bc\)
\(\Rightarrow a(a+b+c)+bc=bc(a^2+1)\)
\(\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)\)
\(\Leftrightarrow a^2+1=\frac{(a+b)(a+c)}{bc}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c})\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}=\sqrt{\frac{ac}{(b+a)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{b+a}+\frac{c}{b+c})\)
\(\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}=\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{b+c})\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$
Chắc đề bị nhầm rồi.
\(\dfrac{a}{\sqrt{b+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+1}}\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{3+b}+\dfrac{b}{3+c}+\dfrac{c}{3+a}\right)\)
\(\ge2\sqrt{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)}\ge2\sqrt{2}.\dfrac{9}{9+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=2\sqrt{2}.\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
Ta có BĐT phụ \(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}-1}\ge0\forall\dfrac{1}{4}< a< 0\)
Tương tự cho 3 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}\ge4b+1;\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}\ge4c+1;\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4d+1\)
Cộng theo vế 4 BĐT trên ta có:
\(VT\ge4\left(a+b+c+d\right)+4=8=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=d=\dfrac{1}{4}\)
Ta cần chứng minh :
\(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\) \(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
\(\Leftrightarrow1+\sqrt{a}\ge\left(4a+1\right)\left(1-a\right)\)
\(\Leftrightarrow1+\sqrt{a}\ge4a-4a^2+1-a\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a-1+a+1+\sqrt{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^2-3a+\sqrt{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(4a^2-a\right)-\left(2a-\sqrt{a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-\sqrt{a}\right)\left(2a+\sqrt{a}\right)-\left(2a-\sqrt{a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-\sqrt{a}\right)\left(2a+\sqrt{a}-1\right)\ge0\)
Ta có: \(2a-\sqrt{a}=\left(\sqrt{2a}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2-\dfrac{1}{8}\ge0\) \(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
\(\left(2a+\sqrt{a}-1\right)=\left(\sqrt{2a}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\ge0\)
\(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
Vậy: \(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\) \(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}\ge4b+1\forall b\in\left(0;1\right)\)
\(\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}\ge4c+1\forall c\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
\(\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4d+1\forall d\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
Cộng các BĐT vừa chứng minh, ta được:
\(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}+\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}+\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}+\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4\left(a+b+c+d\right)+4=8\)
Vậy: Ta suy ra được điều phải chứng minh