Cho bất phương trình \(\left(m+1\right)x^2-2\left(m+2\right)x+4>0\) .Tìm m để với \(x\in\left[0;1\right]\) đều là nghiệm của bất phương trình.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 7 2021
- Với \(m=\dfrac{1}{2}\) ko thỏa mãn
- Với \(m\ne\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^3-\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x^2+\left(m-4\right)x+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left[\left(m-2\right)x+2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2\right]\ge0\) (1)
Do (1) luôn chứa 1 nghiệm \(x=1\in\left(0;+\infty\right)\) nên để bài toán thỏa mãn thì cần 2 điều sau đồng thời xảy ra:
+/ \(2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)
+/ \(\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2=0\) có 2 nghiệm trong đó \(x_1\le0\) và \(x_2=1\)
Thay \(x=1\) vào ta được:
\(\left(2m-1\right)-\left(m-2\right)-2=0\Leftrightarrow m=1\)
Khi đó: \(x^2+x-2=0\) có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_1=-2< 0\left(thỏa\right)\\x_2=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m=1\)
10 tháng 3 2022
\(f\left(x\right)=\left(3m-4\right)x^2-2\left(m-2\right)x+m-1< 0\)
\(TH1:3m-4=0\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{3}< 0\Leftrightarrow x< -\dfrac{1}{4}\left(ktm\right)\)
\(TH2:3m-4>0\Leftrightarrow m>\dfrac{4}{3}\Rightarrow f\left(x\right)< 0\forall x>1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\x1\le1< x2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)^2-\left(m-1\right)\left(3m-4\right)>0\\\left(x1-1\right)\left(x2-1\right)\le0\Leftrightarrow x1.x2-\left(x1+x2\right)+1\le0\\\\\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< m< \dfrac{3}{2}\\\dfrac{m-1}{3m-4}-\dfrac{2\left(m-2\right)}{3m-4}+1\le0\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le m< \dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le m< \dfrac{4}{3}\left(màm>\dfrac{4}{3}\right)\Rightarrow loại\)
\(TH3:3m-4< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=0\Leftrightarrow m=0\left(tm\right)\\x=\dfrac{2\left(m-2\right)}{3m-4}=\dfrac{1}{2}\notin\left(1;+\infty\right)\left(tm\right)\end{matrix}\right.\\\Delta'< 0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\\x1< x2\le1\left(1\right)\\\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\Leftrightarrow0< m< \dfrac{3}{2}\\\left(x1-1\right)\left(x2-1\right)\ge0\\x1+x2-2< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< m< \dfrac{3}{2}\\\dfrac{m-1}{3m-4}-\dfrac{2\left(m-2\right)}{3m-2}+1\ge0\\\dfrac{2\left(m-2\right)}{3m-4}-2< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow0< m\le\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le0\\0< m\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
11 tháng 3 2022
thay \(\dfrac{1}{2}\) vào ra x<1/5 hoặc x>1 chứ có phải Vx>1 đâu ạ
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 2 2021
\(\left(m^2-1\right)x-8m+9-m^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2-8m-1\right)x\ge m^2-9\)
- Với \(m=4+\sqrt{17}\) ko thỏa mãn
- Với \(m=4-\sqrt{17}\) thỏa mãn
- Với \(m\ne4\pm\sqrt{17}\)
Pt nghiệm đúng với mọi \(x\ge0\) khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m-1>0\\\dfrac{m^2-9}{m^2-8m-1}\le0\\\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m-1>0\\m^2-9\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow-3\le m< 4-\sqrt{17}\)
Vậy \(-3\le m\le4-\sqrt{17}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 5 2021
- Với \(m=\pm1\) không thỏa mãn
- Với \(m\ne\pm1\) ta có:
\(\Delta'=16m^2-\left(m^2-1\right)\left(9-m^2\right)=\left(m^2+3\right)^2>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) BPT đã cho đúng với mọi \(x\ge0\) khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\x_1< x_2\le0\end{matrix}\right.\) (pt hệ số a dương đồng thời có 2 nghiệm ko dương)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=m^2-1>0\\x_1+x_2=\dfrac{8m}{m^2-1}< 0\\x_1x_2=\dfrac{9-m^2}{m^2-1}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-3\le m< -1\)
(Nếu \(\Delta\) không luôn dương với mọi m, ví dụ dạng \(\Delta=m^2-3m+2\) chẳng hạn thì còn 1 TH thỏa mãn nữa là \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\))
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 1 2021
- Với \(m=2\) BPT luôn có nghiệm
- Với \(m\ne2\) BPT vô nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}m-2< 0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m\left(m-2\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\-m^2+6m+1\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m\le3-\sqrt{10}\)
NM
0
HP
22 tháng 1 2021
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4< 0\\\left(m-1\right)x-2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x-4\right)< 0\\\left(m-1\right)x-2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< x< 4\\\left(m-1\right)x-2>0\end{matrix}\right.\left(1\right)\)
TH1: \(m< 1\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< x< 4\\x< \dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\dfrac{2}{m-1}>-1\Leftrightarrow2< -m+1\Leftrightarrow m< -1\)
\(\Rightarrow m< -1\)
TH2: \(m=1\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< x< 4\\-2>0\end{matrix}\right.\left(vn\right)\)
TH3: \(m>1\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< x< 4\\x>\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{2}{m-1}< 4\Leftrightarrow4m-4>2\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow m>\dfrac{3}{2}\)
Vậy \(m< -1;m>\dfrac{3}{2}\)
HP
2 tháng 2 2021
\(x^2-2x+4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}-18+m\ge0\)
\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+2x+8\right)+4\sqrt{-x^2+2x+8}\ge10-m\left(1\right)\)
Đặt \(t=\sqrt{-x^2+2x+8}\left(0\le t\le3\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow10-m\le f\left(t\right)=-t^2+4t\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi
\(10-m\le minf\left(t\right)=min\left\{f\left(0\right);f\left(3\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(0\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m\ge10\)
Vậy \(m\ge10\)
\(\Leftrightarrow m\left(x^2-2x\right)+x^2-4x+4>0\)
\(\Leftrightarrow mx\left(x-2\right)+\left(x-2\right)^2>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(mx+x-2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow mx+x-2< 0\) (do \(x-2< 0\) \(\forall x\in\left[0;1\right]\))
\(\Leftrightarrow mx< 2-x\)
- Với \(x=0\) luôn thỏa mãn
- Với \(x>0\Rightarrow m< \frac{2-x}{x}=\frac{2}{x}-1\Rightarrow m< \min\limits_{\left[0;1\right]}\left(\frac{2}{x}-1\right)=1\)
Vậy \(m< 1\)