chứng minh
-x^2+2xy-y^2-1<0 với mọi số thực x và y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DV
1
27 tháng 3 2019
Với \(x,y>0\). Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(x^4+y^2\ge2x^2y\)
\(\Rightarrow x^4+y^2+2xy^2\ge2x^2y+2xy^2=2xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^4+y^2+2xy^2}\le\frac{1}{2xy\left(x+y\right)}\)(đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 6 2019
BĐT Vasc cơ bản:
Cho các số dương \(abc=1\) thì:
\(\sum\frac{1}{a^2+a+1}\ge1\)
Chứng minh:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{yz}{x^2}\\b=\frac{xz}{y^2}\\c=\frac{xy}{z^2}\end{matrix}\right.\) thì BĐT trở thành:
\(\sum\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\ge1\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2yz+y^2xz+z^2xy+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\ge1\)
Nhân chéo và thực hiện khai triển:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\)
Sau đó rút gọn ta được:
\(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge x^2yz+y^2xz+z^2xy\)
BĐT trên chính là dạng \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Vậy BĐT đã được chứng minh xong
BH
15 tháng 4 2018
áp dụng bổ đề \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)(bạn dùng cô-si,xét tích \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\))
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+2xy}+\frac{1}{y^2+2yz}+\frac{1}{z^2+2xz}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{1^2}\)
G
0
PT
2
PT
0
24 tháng 10 2018
\(x^2+y^2-2xy+x-y+1\)\(\left(x-y\right)^2+x-y+1\)
\(\left(x-y\right)=t\Rightarrow t^2-t+1=t^2-2.\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
=>đpcm
25 tháng 10 2018
\(x^2+y^2-2xy+x-y+1\)
\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x-y\right)+1\)
\(=\left(x-y\right)^2+2\cdot\left(x-y\right)\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x-y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x;y\)
P.s: cách này dễ hiểu hơn cách của Nguyễn Hưng Phát
LQ
1
13 tháng 6 2019
\(\left(x+y\right)\left(x+y\right)=x^2+xy+xy+y^2=x^2+2xy+y^2\)
\(\left(x-y\right)\left(x-y\right)=x^2-xy-xy+y^2=x^2-2xy+y^2\)
\(\left(x-z\right)\left(x+z\right)=x^2+xz-xz-z^2=x^2-z^2\)
\(\Leftrightarrow-1-\left(x-y\right)^2\le-1< 0\)