Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh:
\(\sqrt{x\left(1-x\right)}+\sqrt{y\left(1-y\right)}+\sqrt{z\left(1-z\right)}\le\sqrt{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 1 2022
\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)
\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)
\(=x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)
\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)
TN
26 tháng 8 2016
Ta có:
\(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(1+y^2=xy+yz+xz+y^2=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\)
\(1+z^2=xy+yz+xz+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
Thay vào A được:
\(P=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\)\(+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
\(=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)
\(=xy+xz+xy+yz+xz+zy\)
\(=2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=2\)(do xy+yz+xz=1)
=>Đpcm
BT
26 tháng 8 2016
Dạng toán này rất nhiều bạn hỏi rồi: thay \(xy+yz+zx=1\) vào các căn thức rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
MH
22 tháng 11 2023
Ta có:
\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx\)
\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự:
\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+1=\left(y+z\right)\left(y+x\right)\\z^2+1=\left(z+y\right)\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(A=x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\dfrac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
TH1: x,y,z <0
\(A=-x\left(y+z\right)-y\left(z+x\right)-z\left(x+y\right)=-2\)
TH2: x,y,z>0
\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)=2\)
22 tháng 11 2023
Ta có \(1+z^2=xy+yz+zx+z^2\)
\(=y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\)
\(=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
CMTT, \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\) và \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
Do đó \(\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(y+z\right)^2}\) \(=\left|y+z\right|\)
Tương tự như thế, ta được
\(A=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
Cái này không tính ra số cụ thể được nhé bạn. Nó còn phải tùy vào dấu của \(x+y,y+z,z+x\) nữa.
G
27 tháng 3 2019
Thay \(xy+yz+xz=1\) ta có: \(\hept{\begin{cases}1+x^2=xy+yz+xz+x^2=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\\1+y^2=xy+yz+xz+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\\1+z^2=xy+yz+xz+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow S=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)=2\left(xy+yz+xz\right)=2\)
RR
17 tháng 5 2018
a) Ta có : \(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
b) \(\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\right)=\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right).\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\right)\)
\(=\Sigma\left(x\left(y+z\right)\right)=xy+xz+xy+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 12 2020
\(P\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+4}\right)}\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{4xy+4x+4}\right)}\)
\(P\le\sqrt{\dfrac{3}{4}\sum\left(\dfrac{1}{xy+x+1}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(x=y=z=1\)
Sử dụng Bunhiacopxki:
\(\sqrt{x\left(1-x\right)}+\sqrt{y\left(1-y\right)}+\sqrt{z\left(1-z\right)}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(1-x+1-y+1-z\right)}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)