Cho các số dương a và b thỏa mãn a - b \(=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\)
Tính a^2 +b ^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 12 2021
Có \(a\sqrt{1-b^2}=\sqrt{a^2\left(1-b^2\right)}\le\dfrac{a^2+1-b^2}{2}\)
\(b\sqrt{1-c^2}=\sqrt{b^2\left(1-c^2\right)}\le\dfrac{b^2+1-c^2}{2}\)
\(c\sqrt{1-a^2}=\sqrt{c^2\left(1-a^2\right)}\le\dfrac{c^2+1-a^2}{2}\)
=> \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1-b^2\\b^2=1-c^2\\c^2=1-a^2\end{matrix}\right.\)
<=> \(a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\)
2 tháng 1 2022
Áp dụng BĐT Minicopski, ta có:
\(P=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}\\ \Rightarrow P\ge\sqrt{4^2+\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2}=\sqrt{16+\left(\dfrac{4}{4}\right)^2}=\sqrt{17}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)
2 tháng 1 2022
Ta có \(a^2+\dfrac{1}{b+c}=a^2+\dfrac{1}{6-a}\)
Mà \(a+b+c=6\Rightarrow0\le a,b,c\le2\)
\(\Rightarrow a^2+\dfrac{1}{6-a}\ge2^2+\dfrac{1}{6-2}=\dfrac{17}{4}\)
\(\Rightarrow P=\sum\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}=\sum\sqrt{a^2+\dfrac{1}{6-a}}\ge\sqrt{\dfrac{17}{4}}+\sqrt{\dfrac{17}{4}}+\sqrt{\dfrac{17}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 8 2021
\(a^2+ab+b^2=\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(P\ge\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}\)
\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2022
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
\(a+\sqrt{1-a^2}=b+\sqrt{1-b^2}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{1-a^2}=b\sqrt{1-b^2}\)( bình phương 2 vế rồi rút gọn )
\(\Rightarrow a^2\left(1-a^2\right)=b\left(1-b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4-b^4-\left(a^2-b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a^2-b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a^2+b^2=1\\a=b\end{cases}}\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a^2+b^2=1\\a^2+b^2=2a^2=2b^2\end{cases}}\)
Đến đây có 2 trường hợp xảy ra , hình như bạn ghi thiếu gì đó