Cho x+y+z=k. Tìm GTNN của biểu thức \(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 6 2019
\(P=x+y+z+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge x+y+z+\frac{18}{x+y+z}\)
\(P\ge x+y+z+\frac{1}{x+y+z}+\frac{17}{x+y+z}\)
\(P\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)\frac{1}{\left(x+y+z\right)}}+\frac{17}{1}=19\)
\(P_{min}=19\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 11 2019
\(1=\frac{1}{x+y+y}+\frac{1}{y+z+z}+\frac{1}{z+x+x}\)
\(\Rightarrow1\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}+\frac{1}{z}+\frac{2}{x}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\Rightarrow xy+yz+zx\ge3xyz\)
\(P=\frac{x^2}{x^2+2xyz}+\frac{y^2}{y^2+2xyz}+\frac{z^2}{z^2+2xyz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+6xyz}=\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}{x^2+y^2+z^2+6xyz}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2+y^2+z^2+6xyz}{x^2+y^2+z^2+6xyz}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(x=y=z=1\)
26 tháng 11 2019
@Nguyễn Việt Lâm hôm nay làm gần trăm bài rồi mà vẫn chưa ngủ ak anh
DH
3 tháng 2 2020
\(M\left(x+y+z\right)=\left(z^2+y^2+z^2\right)+2+\frac{\left(x^2+1\right)\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(y^2+1\right)\left(z+x\right)}{y}+\frac{\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)}{z}\)
\(=5+\frac{\left(x^2+1\right)\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(y^2+1\right)\left(z+x\right)}{y}+\frac{\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)}{z}\)
\(\ge5+2\left(y+z\right)+2\left(z+x\right)+2\left(x+y\right)=5+4\left(x+y+z\right)\) ( Sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ý)
\(\Rightarrow M\ge\frac{5}{x+y+z}+4\)
Mặt khác: \(\left(x+y+z\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\le3\)
Do đó: \(M\ge\frac{5}{3}+4=\frac{17}{3}\)
\(M=\frac{17}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
\(\Rightarrow Min_A=\frac{17}{3}\)
24 tháng 7 2020
x(x+1)+y(y+1)+z(z+1) \(\le18\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+\left(x+y+z\right)\le18\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow54\ge\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow-9\le x+y+z\le6\)
\(\Rightarrow0\le x+y+z\le6\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y+1}+\frac{x+y+1}{25}\ge\frac{2}{5}\\\frac{1}{y+z+1}+\frac{y+z+1}{25}\ge\frac{2}{5}\\\frac{1}{z+x+1}+\frac{z+x+1}{25}\ge\frac{2}{5}\end{cases}}\Rightarrow B+\frac{2\left(x+y+z\right)+3}{25}\ge\frac{6}{5}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{27}{25}-\frac{2}{25}\left(x+y+z\right)\ge\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0;x+y+z=6\\\left(x+y+1\right)^2=\left(y+z+1\right)^2=\left(z+x+1\right)^2=25\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=2}\)
vậy giá trị nhỏ nhất cho B=3/5 khi x=y=z=2
27 tháng 7 2020
Hai Ngox Xem laị từ dòng thứ 2 và dòng thứ 3 xuống dưới. Nhiều lỗi quá!
T
12 tháng 12 2018
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
20 tháng 12 2017
Bạn ơi đề hình như là tìm GTLN
Xét x/x+1 < = x/x+x+y+z = x/(x+y)+(x+z)
Áp dụng bđt 1/a+b < = 1/4.(1/a + 1/b) với a,b > 0 thì
x/x+1 < = x/4.(1/x+y + 1/x+z) = 1/4.(x/x+y + x/x+z)
Tương tự : y/y+1 < = 1/4.(y/x+y + y/y+z) ; z/z+! < = 1/4.(z/z+x + z/y+z)
=> M < = 1/4.(x/x+y + y/x+y + y/y+z + z/y+z + z/x+z + x/z+x) = 1/4.(1+1+1) = 3/4
Dấu "=" xảy ra <=> x+y+z = 1 và x=y=z <=> x=y=z=1/3
Vậy GTLN của M = 3/4 <=> x=y=z=1/3
k mk nha
27 tháng 3 2020
Tham khảo link này nha
https://olm.vn/hoi-dap/detail/243232541423.htm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 6 2020
Từ hàng 2 rút gọn xuống hàng 3 OK rồi đúng ko?
Sử dụng BĐT: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow-\left(ab+bc+ca\right)\ge-\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 6 2020
\(S=x-\frac{xy^2}{1+y^2}+y-\frac{yz^2}{1+z^2}+z-\frac{zx^2}{1+x^2}\)
\(S\ge x+y+z-\frac{xy^2}{2y}-\frac{yz^2}{2z}-\frac{zx^2}{2x}\)
\(S\ge3-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{3}{2}\)
\(S_{min}=\frac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)