Câu hỏi của Kakarot Songoku

Question

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN của biểu thức:

S = $\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Từ hàng 2 rút gọn xuống hàng 3 OK rồi đúng ko?

Sử dụng BĐT: $\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)$

$\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2$

$\Rightarrow-\left(ab+bc+ca\right)\ge-\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2$

$\Rightarrow-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2$Câu trả lời: Từ hàng 2 rút gọn xuống hàng 3 OK rồi đúng ko?

Sử dụng BĐT: $\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)$

$\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2$

$\Rightarrow-\left(ab+bc+ca\right)\ge-\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2$

$\Rightarrow-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2$

Nguyễn Việt Lâm · Answer

$S=x-\frac{xy^2}{1+y^2}+y-\frac{yz^2}{1+z^2}+z-\frac{zx^2}{1+x^2}$

$S\ge x+y+z-\frac{xy^2}{2y}-\frac{yz^2}{2z}-\frac{zx^2}{2x}$

$S\ge3-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{3}{2}$

$S_{min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$Câu trả lời: $S=x-\frac{xy^2}{1+y^2}+y-\frac{yz^2}{1+z^2}+z-\frac{zx^2}{1+x^2}$

$S\ge x+y+z-\frac{xy^2}{2y}-\frac{yz^2}{2z}-\frac{zx^2}{2x}$

$S\ge3-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{3}{2}$

$S_{min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$