Gọi O và O1 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác ABC.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt OO1 tại M.
a, CMR : M là trung điểm OO1
b, Gọi R và R1 là bán kính (O) và (O1)
Cho biết BC = 1; R1 = 2R. Tính S ABC theo R
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có nếu R là bán kính đường tròn nội tiếp của 1 tam giác đều cạnh a thì: \(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) (*)
Dựng 2 tam giác đều BDF và tam giác CDG về phía ngoài tam giác ABC, khi đó \(\widehat{BFD}=\widehat{BED}=60^o\); \(\widehat{CGD}=\widehat{CED}=60^o\)
=> BDEF và CDEG là các tứ giác nội tiếp
Nên R1;R2 lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các \(\Delta\) đều BDF và CDG
Theo (*) ta có: \(\hept{\begin{cases}R_1=\frac{BD\sqrt{3}}{3}\\R_2=\frac{CD\sqrt{3}}{3}\end{cases}\Rightarrow R_1R_2=\frac{BD\cdot CD}{3}}\)
Mặt khác \(\left(BD+CD\right)^2=4\cdot BD\cdot CD\)
\(\Rightarrow BD\cdot CD\le\frac{\left(BD+CD\right)^2}{4}=\frac{BC^2}{4}=\frac{3R^2}{4}\Rightarrow R_1R_2\le\frac{R^2}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi BD=CD
Ta có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều cạnh a thì \(R=\frac{a\sqrt{3}}{a}\) (*)
Dựng 2 tam giác đều BDF và CDG về phía ngoài tam giác ABC, khi đó \(\widehat{BFD}=\widehat{BED}=60^0;\widehat{CGD}=\widehat{CED}=60^o\)
=> BDEF và CDEG là các tứ giác nội tiếp
Nên R1;R2 lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đềuy BDF và CDG
Theo (*) ta có: \(R_1=\frac{BD\sqrt{3}}{3};R_2=\frac{CD\sqrt{3}}{3}\Rightarrow R_1R_2=\frac{BD\cdot CD}{3}\)
Mặt khác \(\left(BD+CD\right)^2\ge4\cdot BD\cdot CD\)
=> BD.CD\(\le\frac{\left(BD+CD\right)^2}{4}=\frac{BC^2}{4}=\frac{3R^2}{4}\Rightarrow R_1R_2\le\frac{R^2}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
BD=CD, nghĩa là R1;R2 đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{R^2}{4}\) khi D là trung điểm BC
Tết nghỉ ngơi đi em, thời gian này nên chơi cho đầu óc thanh thản chứ ko nên học
Hướng dẫn sơ sơ cách giải cho câu này:
Trước hết em chứng minh \(MN\perp DF\)
Sau đó chứng minh \(DN=NF\) (đều bằng \(\dfrac{1}{2}AC\), lý do là 2 trung tuyến của 2 tam giác vuông đều có cạnh huyền AC)
\(\Rightarrow MN\) là trung trực DF (1)
Hoàn toàn tương tự, gọi P là trung điểm AB thì cũng chứng minh được \(MP\perp DE\) và \(PD=PE\Rightarrow PM\) là trung trực DE (2)
(1);(2) suy ra đpcm