Cho x,y là các số thực thỏa mãn x+y\(\ge\)4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
5(x4 +y4+x\(^{^2}\)y\(^{^2}\)) - 3(x \(^2\)+y \(^2\))+4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 3 2023
Ta có:
\(P^2=\left(x+2y\right)^2=x^2+4xy+4y^2\\ =x^2+y^2+4xy+3y^2\ge x^2+y^2=4\\ \Rightarrow P_{min}=2\Leftrightarrow x=2;y=0\)
Đs....
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Ta sẽ chứng minh \(P_{min}=1\)
TH1: \(xyz=0\)
\(\Rightarrow x^2y^2z^2=0\Rightarrow x^4+y^4+z^4=1\)
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\sqrt{x^4+y^4+z^4}=1\)
TH2: \(xyz\ne0\) , từ điều kiện, tồn tại 1 tam giác nhọn ABC sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=cosA\\y^2=cosB\\z^2=cosC\end{matrix}\right.\)
\(P=cosA+cosB+cosC-\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\)
Ta sẽ chứng minh \(cosA+cosB+cosC-\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\ge1\)
\(\Leftrightarrow4sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}\ge\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\)
\(\Leftrightarrow8sin^2\dfrac{A}{2}sin^2\dfrac{B}{2}sin^2\dfrac{C}{2}\ge cosA.cosB.cosC\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8sin^2\dfrac{A}{2}sin^2\dfrac{B}{2}sin^2\dfrac{C}{2}}{8sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}}\ge cotA.cotB.cotC\)
\(\Leftrightarrow tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}\ge cotA.cotB.cotC\)
\(\Leftrightarrow tanA.tanB.tanC\ge cot\dfrac{A}{2}cot\dfrac{B}{2}cot\dfrac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC\ge cot\dfrac{A}{2}+cot\dfrac{B}{2}+cot\dfrac{C}{2}\)
Ta có:
\(tanA+tanB=\dfrac{sin\left(A+B\right)}{cosA.cosB}=\dfrac{2sinC}{cos\left(A-B\right)-cosC}\ge\dfrac{2sinC}{1-cosC}=\dfrac{2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{C}{2}}{2sin^2\dfrac{C}{2}}=cot\dfrac{C}{2}\)
Tương tự: \(tanA+tanC\ge cot\dfrac{B}{2}\) ; \(tanB+tanC\ge cot\dfrac{A}{2}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Vậy \(P_{min}=1\) khi \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị hoặc \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
3 tháng 5 2018
Ta có :
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(1.x+1.y+1.z\right)^2\) (Bunhia)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3.4=12\)
\(\Rightarrow-2\sqrt{3}\le x+y+z\le2\sqrt{3}\)
5 tháng 6 2018
Bạn trên làm sai r. X+y+z ko âm cơ mà sao lại có gtnn là -2√3??