CMR: \(\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-1}+...\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
7
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
26 tháng 9
a; A = \(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{4^2}\) + \(\dfrac{1}{6^2}\) + ... + \(\dfrac{1}{\left(2n\right)^2}\)
A = \(\dfrac{1}{2^2}\).(\(\dfrac{1}{1^2}\) + \(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\) + ... + \(\dfrac{1}{n^2}\))
A = \(\dfrac{1}{4}\).(\(\dfrac{1}{1}\) + \(\dfrac{1}{2.2}\) + \(\dfrac{1}{3.3}\) + ... + \(\dfrac{1}{n.n}\))
Vì \(\dfrac{1}{2.2}\) < \(\dfrac{1}{1.2}\); \(\dfrac{1}{3.3}\) < \(\dfrac{1}{2.3}\); ...; \(\dfrac{1}{n.n}\) < \(\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)
nên A < \(\dfrac{1}{4}\).(\(\dfrac{1}{1}\) + \(\dfrac{1}{1.2}\) + \(\dfrac{1}{2.3}\) + ... + \(\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\))
A < \(\dfrac{1}{4.}\)(1 + \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{n-1}\) - \(\dfrac{1}{n}\))
A < \(\dfrac{1}{4}\).(1 + 1 - \(\dfrac{1}{n}\))
A < \(\dfrac{1}{4}\).(2 - \(\dfrac{1}{n}\))
A < \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{4n}\) < \(\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
26 tháng 9
Từ "lạc trôi" có nghĩa là gì trong câu:
"Mây bềnh bồng lạc trôi/mượt mà như tuổi ngọc."
5 tháng 11 2016
a ) \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)
\(< \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\right)=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{2}\)
b )
\(B=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \frac{1}{3^2-1}+\frac{1}{5^2-1}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2-1}\)
\(=\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+...+\frac{1}{2n\left(2n+2\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-...+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}\right)< \frac{1}{4}\).
25 tháng 3 2016
a) Giả sử các đỉnh đa giác là các điểm biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị \(P_o=1\). Xét đa thức :
\(f=z^n-1=\left(z-1\right)\left(z-\omega\right)........\left(z-\omega^{n-1}\right),\omega=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\)
Rõ ràng :
\(n=f'\left(1\right)=\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)...\left(1-\omega^{n-1}\right)\)
Lấy Modun 2 vế ta được kết quả
b) Ta có :
\(1-\omega^k=1-\cos\frac{2k\pi}{n}-i\sin\frac{2k\pi}{n}=2\sin^2\frac{k\pi}{n}-2i\sin\frac{k\pi}{n}\cos\frac{k\pi}{n}\)
\(=2\sin\frac{k\pi}{n}\left(\sin\frac{k\pi}{n}-i\cos\frac{k\pi}{n}\right)\)
Do đó : \(\left|1-\omega^k\right|=2\sin\frac{k\pi}{n},k=1,2,....,n-1\)
Sử dụng a) ta có điều phải chứng minh
c) Xét đa giác đều \(Q_oQ_1.....Q_{2n-1}\) nội tiếp trong đường tròn, các đỉnh của nó là điểm biểu diễn hình học của \(\sqrt{n}\) của đơn vị.
Theo a) \(Q_oQ_1.Q_oQ_2....Q_oQ_{2n-1}=2n\)
Bây giờ xét đa giác đều \(Q_oQ_2....Q_{2n-1}\) ta có \(Q_oQ_2.Q_oQ_4..Q_oQ_{2n-2}=n\)
Do đó \(Q_oQ_1.Q_oQ_3..Q_oQ_{2n-1}=2\) Tính toán tương tự phần b) ta được
\(Q_oQ_{2k-1}=2\sin\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n},k=1,2....n\) và ta có điều phải chứng minh
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
22 tháng 1 2021
\(\frac{1}{1.\left(2n-1\right)}+\frac{1}{3.\left(2n-3\right)}+...+\frac{1}{\left(2n-3\right).3}+\frac{1}{\left(2n-1\right).1}\)
\(=\frac{1}{2n}\left[\frac{2n-1+1}{1\left(2n-1\right)}+\frac{2n-3+3}{3\left(2n-3\right)}+...+\frac{3+2n-3}{\left(2n-3\right).3}+\frac{1+2n-1}{\left(2n-1\right).1}\right]\)
\(=\frac{1}{2n}\left(1+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2n-3}+...+\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2n-1}+1\right)\)
\(=\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{2n-1}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{A}{B}=\frac{1}{n}\).