Question

[Bi Bi]

Giaỉ phương trình nghiệm nguyên

\(x^3-y^3=3xy+1\)

\(x^2+2y^2+3xy+3x+5y=14\)

\(x^2\left(y-1\right)+y^2\left(x-1\right)=1\)

\(x^6+3x^3+1=y^4\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 3:

PT \(\Leftrightarrow x^2y+xy^2-(x^2+y^2)-1=0\)

\(\Leftrightarrow xy(x+y)-[(x+y)^2-2xy]-1=0\)

\(\Leftrightarrow ab-(a^2-2b)-1=0\) (đặt $x+y=a; xy=b$)

\(\Leftrightarrow a^2-ab-2b+1=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-b(a+2)+1=0\)

\(\Leftrightarrow b(a+2)=a^2+1\)

Nếu $a+2=0$ thì $a=-2$

$\Rightarrow b.0=5$ (vô lý). Do đó $a+2\neq 0$

$\Rightarrow b=\frac{a^2+1}{a+2}$.

Với $x,y$ nguyên thì $a,b$ nguyên. Để $b$ nguyên thì $a^2+1\vdots a+2$

$\Leftrightarrow (a-2)(a+2)+5\vdots a+2$

$\Leftrightarrow 5\vdots a+2$

$\Rightarrow a+2\in\left\{\pm 1;\pm 5\right\}$

$\Rightarrow a\in\left\{-3; -1; -7; 3\right\}$

$\Rightarrow b\in\left\{-10; 2; -10; 2\right\}$ (tương ứng)

Với $(a,b)=(-3,-10)$, áp dụng đly Vi-et đảo thì $x,y$ sẽ là nghiệm của PT $X^2+3X-10=0$ $\Rightarrow (x,y)=(2,-5)$ và hoán vị.

Tương tự với các TH còn lại ta thu được: $(x,y)=(2,1); (2,-5)$ và các hoán vị.

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 4: Ta xét các TH sau:

TH1 $x\geq 1$

\(x^6+3x^3+1>x^6=(x^3)^2\)

\(x^6+3x^3+1=(x^3+2)^2-x^3-3< (x^3+2)^2\)

\(\Rightarrow (x^3)^2< x^6+3x^3+1< (x^3+2)^2\)

\(\Leftrightarrow (x^3)^2< y^4< (x^3+2)^2\)

Theo nguyên lý kẹp thì $y^4=(x^3+1)^2$

$\Leftrightarrow x^6+3x^3+1=(x^3+1)^2$

$\Leftrightarrow x=0$ (loại vì $x\geq 1$)

TH2: $x=0; x=-1$ thì ta thấy $x=0$ thỏa mãn, kéo theo $y=\pm 1$

TH3: $x\leq -2\rightarrow x^3\leq -8$. Do đó:
\(x^6+3x^3+1\leq x^6+2x^3+(-8)+1< (x^3+1)^2\)

\(x^6+3x^3+1=x^6+4x^3-x^3-1\geq x^6+4x^3+9>(x^3+2)^2\)

\(\Rightarrow (x^3+1)^2> x^6+3x^3+1> (x^3+2)^2\)

\(\Rightarrow (x^3+1)^2>y^4> (x^3+2)^2\) (vô lý theo nguyên lý kẹp)

Vậy $(x,y)=(0,\pm 1)$