CMR
\(\frac{a-b}{a+b}< \frac{a ^2-b^2}{a^2+b^2}\)với a>b>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 3 2020
Bài 2 :
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot\frac{a+b+c}{abc}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot1=4\)
( Do \(a+b+c=abc\) )
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\) (đpcm)
P/s : Cho hỏi bài 1 có a,b,c > 0 không ?
3 tháng 3 2020
Khuyến mãi thêm bài 1 :))
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}\cdot\frac{b^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\) (1)
Tương tự ta có :
\(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)(2), \(\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge\frac{2c}{b}\) (3)
Cộng các vế của BĐT (1) (2) và (3) và chia 2 ta có :
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
NT
1
ND
23 tháng 7 2019
Có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Tương tự:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\)
\(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)
Cộng vế theo vế:
\(VT\ge a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
2 tháng 9 2019
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT Cô-si:
\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).
b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).
Bài 2: tương tự 1b.
2 tháng 9 2019
Bài 3:
Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT:
\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )
17 tháng 8 2016
Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\) được :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)
10 tháng 8 2018
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{bc+ab}+\frac{c^4}{ac+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
TH
1
9 tháng 9 2019
Có \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^3+b^3}{2}\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{a^3+b^3}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}\left(\frac{a^2+b^2}{2}-a^2+ab-b^2\right)\le0\)
<=>\(\frac{a+b}{2}\left(\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{2a^2-2ab+b^2}{2}\right)\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2-2a^2+2ab-2b^2}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{-\left(a^2-2ab+b^2\right)}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{-\left(a-b\right)^2}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b \(\ge\)0)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a,b\ge0\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^3+b^3}{2}\)
có
\(a>b\Leftrightarrow a-b>0\) (1)
\(a,b>0\Leftrightarrow2ab>0\)
\(a^2+2ab+b^2>a^2+b^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)>0\) (2)
nhân 1 ,2 thì dc
\(\left(a-b\right)\left\{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)\right\}>0\)
\(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}>0\) " nhân 2 vế cho 1/(a+b(a^2+b^2)
\(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}-\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}>0\)
\(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}-\frac{a-b}{a+b}>\frac{0\Leftrightarrow a^2-b^2}{a^2+b^2}>\frac{a-b}{a+b}\)