BT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
2 tháng 9 2019
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT Cô-si:
\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).
b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).
Bài 2: tương tự 1b.
2 tháng 9 2019
Bài 3:
Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT:
\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )
10 tháng 8 2018
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{bc+ab}+\frac{c^4}{ac+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
TH
1
9 tháng 9 2019
Có \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^3+b^3}{2}\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{a^3+b^3}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}\left(\frac{a^2+b^2}{2}-a^2+ab-b^2\right)\le0\)
<=>\(\frac{a+b}{2}\left(\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{2a^2-2ab+b^2}{2}\right)\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2-2a^2+2ab-2b^2}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{-\left(a^2-2ab+b^2\right)}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{-\left(a-b\right)^2}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b \(\ge\)0)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a,b\ge0\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^3+b^3}{2}\)
TN
12 tháng 8 2017
Bài 1:
Cho a,b,c,d là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\)
Cần chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=3\) (đúng)
Khi a=b=c
có
\(a>b\Leftrightarrow a-b>0\) (1)
\(a,b>0\Leftrightarrow2ab>0\)
\(a^2+2ab+b^2>a^2+b^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)>0\) (2)
nhân 1 ,2 thì dc
\(\left(a-b\right)\left\{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)\right\}>0\)
\(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}>0\) " nhân 2 vế cho 1/(a+b(a^2+b^2)
\(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}-\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}>0\)
\(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}-\frac{a-b}{a+b}>\frac{0\Leftrightarrow a^2-b^2}{a^2+b^2}>\frac{a-b}{a+b}\)