Cmr
a, Sin \(\frac{A+B}{2}\)=Cos\(\frac{C}{2}\)
b,Tan(\(\frac{A+B-2C}{2}\))=Cot\(\frac{C}{2}\)
Với A, B, C là 3 góc của tam giác ABC
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
Xét tam giác ABC, ta có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o} \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = {90^o}\)
Do đó \(\frac{{\widehat A}}{2}\) và \(\frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}\) là hai góc phụ nhau.
a) Ta có: \(\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {{{90}^o} - \frac{A}{2}} \right) = \cos \frac{{B + C}}{2}\)
b) Ta có: \(\tan \frac{{B + C}}{2} = \cot \left( {{{90}^o} - \frac{{B + C}}{2}} \right) = \cot \frac{A}{2}\)
20 tháng 4 2017
Tự chứng minh từng cái này rồi suy ra cái đó nhé b.
Ta có: \(sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=sin^2\frac{A}{2}\)
Tương tự ta suy ra:
\(sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=sin^2\frac{A}{2}+sin^2\frac{B}{2}+sin^2\frac{C}{2}+3sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\left(1\right)\)
Tiếp theo chứng minh:
\(2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{cosA+cosB+cosC-1}{2}\left(2\right)\)
\(sin^2\frac{A}{2}+sin^2\frac{B}{2}+sin^2\frac{C}{2}=\frac{3}{2}-\frac{cosA+cosB+cosC}{2}\left(3\right)\)
\(tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}=1\left(4\right)\)
Từ (1), (2), (3), (4) suy được điều phải chứng minh
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 6 2020
f/
\(sin2A+sin2B+sin2C=2sin\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)+2sinC.cosC\)
\(=2sinC.cos\left(A-B\right)+2sinC.cosC\)
\(=2sinC\left(cos\left(A-B\right)+cosC\right)\)
\(=2sinC\left[cos\left(A-B\right)-cos\left(A+B\right)\right]\)
\(=4sinC.sinA.sinB\)
g/
\(cos^2A+cos^2B+cos^2C=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2A+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2B+cos^2C\)
\(=1+\frac{1}{2}\left(cos2A+cos2B\right)+cos^2C\)
\(=1+cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)+cos^2C\)
\(=1-cosC.cos\left(A-B\right)+cos^2C\)
\(=1-cosC\left(cos\left(A-B\right)-cosC\right)\)
\(=1-cosC\left[cos\left(A-B\right)+cos\left(A+B\right)\right]\)
\(=1-2cosC.cosA.cosB\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 6 2020
d/ \(sinA+sinB+sinC=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}.cos\frac{C}{2}\)
\(=2cos\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}.cos\frac{C}{2}\)
\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{C}{2}\right)\)
\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}\right)\)
\(=4cos\frac{C}{2}.cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}\)
e/
\(cosA+cosB+cosC=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+1-2sin^2\frac{C}{2}\)
\(=1+2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}-2sin^2\frac{C}{2}\)
\(=1+2sin\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}-sin\frac{C}{2}\right)\)
\(=1+2sin\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2}\right)\)
\(=1+4sin\frac{C}{2}.sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}\)
12 tháng 5 2017
a) Sin (B+C) = Sin (180-A) = Sin A
b) Cos (A+B) = Cos ( 180-A) = Cos A
c) Sin (\(\dfrac{B+C}{2}\)) = Sin \(\left(\dfrac{180-A}{2}\right)\)= Sin \(\left(90^0-\dfrac{A}{2}\right)\)= Cos \(\dfrac{A}{2}\)
d) Tan \(\left(\dfrac{A+C}{2}\right)\)= Tan\(\left(\dfrac{180-B}{2}\right)\)=Tan\(\left(90^0-\dfrac{B}{2}\right)\)= Cot \(\dfrac{B}{2}\)
TH
9 tháng 8 2019
1) \(sin\left(A+2B+C\right)=sin\left(\pi-B+2B\right)\)
=\(sin\left(\pi+B\right)=sin\left(-B\right)=-sinB\)
2) \(sinBsinC-cosBcosC=-cos\left(B+C\right)\)
\(=-cos\left(\pi-A\right)=cosA\)
TH
9 tháng 8 2019
4) bạn ơi +2 vào vế phải mới đúng nhé
2+ \(2cosAcosBcosC=\left[cos\left(A+B\right)+cos\left(A-B\right)\right]cosC+2\)
\(=cos\left(\pi-C\right)cosC+cos\left(A-B\right)cos\left(\pi-\left(A+B\right)\right)+2\)
=\(-cos^2C-cos\left(A-B\right)cos\left(A+B\right)+2\)
\(=-cos^2C-\frac{1}{2}\left(cos2A+cos2B\right)+2\)
\(=-cos^2C-\frac{1}{2}\left(2cos^2A-1\right)-\frac{1}{2}\left(2cos^2B-1\right)+2\)
\(=-cos^2C-cos^2A+\frac{1}{2}-cos^2C+\frac{1}{2}+2\)
= sin2C - 1 + sin2A - 1 + sin2C - 1 + 3
= sin2A + sin2B + sin2C
HT
25 tháng 6 2019
a/ Có \(\sin B=\frac{AC}{BC};\sin C=\frac{AB}{BC};\cos B=\frac{AB}{BC};\cos C=\frac{AC}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{\sin B-\sin C}{\cos B-\cos C}=\frac{AC-AB}{AB-AC}\)
Nếu AC<AB=> AC-AB<0 =>...<0
Nếu AC>AB=>AB-AC<0=>...<0
b/ làm tg tự câu a
c/ \(\cot B=\frac{AB}{AC};\cot C=\frac{AC}{AB}\)
\(\Rightarrow\cot B+\cot C=\frac{AB^2+AC^2}{AB.AC}\)
Quy đồng lên có: \(AB^2+AC^2>2AB.AC\) (luôn đúng vs AB\(\ne\) AC)
Vậy đẳng thức đc CM
a ) \(\sin\frac{A+B}{2}=\sin\frac{180-C}{2}=\sin\left(90-\frac{C}{2}\right)=\cos\frac{C}{2}\)
b ) Bạn xem có nhầm đề ko ?