Chung minh rang \(\frac{a}{b}.\left(\frac{2b^2-a^2}{2b}\right)=a-\frac{a^3}{2b^2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :
\(VT\ge\frac{\left(2b+3c+2c+3a+2a+3b\right)^2}{a+b+c}\)
\(=\frac{\left(5a+5b+5c\right)^2}{a+b+c}=\frac{\left[5\left(a+b+c\right)\right]^2}{a+b+c}\)
\(=\frac{25\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=25\left(a+b+c\right)=VP\)
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
a) Biến đổi VT . Mẫu chung là ( a + 2b )( a - 2b )
\(VT=\frac{a+2b-6b-2\left(a-2b\right)}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 1 )
Biến đổi VP
\(-\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+4b^2}{a^2-4b^2}+1\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{a^2+4b^2+a^2-4b^2}{a^2-4b^2}\)
\(=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP ( đpcm )
b) \(a^3+b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3\)
<=> \(b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)-a^3\)( * )
Biến đổi VT của ( * ) ta có :
\(VT=\left[b+\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right]\left[b^2-\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}+\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}\right]\)
\(=\frac{3a^3b}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^6b^2+3a^3b^5+3b^8}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)
\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 1 )
\(VP=\left[\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}-a\right]\left[\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}+\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}+a^2\right]\)
\(=\frac{3ab^3}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^8+3a^5b^3+3a^2b^6}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)
\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP => ( * ) đúng
=> Hằng đẳng thức đúng
Mình nhầm, phải là \(\le\frac{1}{3}\)mọi người làm giúp mình với mình cần gấp
Theo BĐT Cauchy Schwarz và các biến đổi cơ bản ta dễ có được:
\(\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\frac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}=\frac{1}{9}\left[\frac{\left(2a+a\right)^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\right]\)
\(\le\frac{1}{9}\left[\frac{4a^2}{2a\left(a+b+c\right)}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right]=\frac{1}{9}\left(\frac{2a}{a+b+c}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{1}{9}\left(2+\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)
Tiếp tục theo BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel:
\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ca}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Ta thực hiện phép đổi biến thì:
\(\frac{ab}{ab+2c^2}+\frac{bc}{bc+2a^2}+\frac{ca}{ca+2b^2}\ge1\)
Đến đây là phần của bạn
Ta có : \(VT=\frac{\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2c+2a-b\right)^2}{9}\)
\(=\frac{4a^2+4b^2+8ab+c^2-4ac-4ab+4b^2+4c^2+8bc+a^2-4ba-4bc+4c^2+4a^2+8ac+b^2-4bc-4ab}{9}\)\(=\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}=a^2+b^2+c^2=VP\)
Vậy ta có đẳng thức:
\(\left(\frac{2a+2b-c}{3}\right)^2+\left(\frac{2b+2c-a}{3}\right)^2+\left(\frac{2c+2a-b}{3}\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
Ta có \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2b^2c^2\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 1\)
BĐT cần chứng minh tương đương với \(\frac{\frac{1}{c^3}}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}+\frac{\frac{1}{b^3}}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}}+\frac{\frac{1}{a^3}}{\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Đặt \((\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})=(x,y,z)\). Bài toán trở thành:
Cho \(x,y,z>0|x^2+y^2+z^2\geq 1\). CMR \(P=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz:
\(P=\frac{x^4}{xy^2+xz^2}+\frac{y^4}{yz^2+yx^2}+\frac{z^4}{zx^2+zy^2}\geq \frac{(x^2+y^2+^2)^2}{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)}\) (1)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\geq y\geq z\Rightarrow x^2\geq y^2\geq z^2\)
Và \(y+z\leq z+x\leq x+y\). Khi đó, áp dụng BĐT Chebyshev:
\(3[x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)]\leq (x^2+y^2+z^2)(y+z+x+z+x+y)\)
\(\Leftrightarrow x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)\leq \frac{2(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{3}\)
Theo hệ quả của BĐT Am-Gm thì: \((x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\Rightarrow x+y+z\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\)
\(\Rightarrow x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)\leq \frac{2(x^2+y^2+z^2)\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}{3}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(P\geq \frac{3(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^2+y^2+z^2)\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}=\frac{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}{2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ta có đpcm
Dáu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\)
Khi đó giả thiết được viết lại là \(x^2+y^2+z^2\ge1\)và ta cần chứng minh \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)(*)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, ta được:
\(VT_{\left(^∗\right)}=\frac{x^4}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{y^4}{y\left(z^2+x^2\right)}+\frac{z^4}{z\left(x^2+y^2\right)}\)\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(z^2+x^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\)
Đến đây ta đi chứng minh \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(z^2+x^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)\(\ge\sqrt{3}\left[x\left(y^2+z^2\right)+y\left(z^2+x^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)\right]\)
Ta có: \(x\left(y^2+z^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x^2\left(y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2\right)}\)\(\le\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left(\frac{2x^2+y^2+z^2+y^2+z^2}{3}\right)^3}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{9}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
Tương tự ta có: \(y\left(z^2+x^2\right)\le\frac{2\sqrt{3}}{9}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(z\left(x^2+y^2\right)\le\frac{2\sqrt{3}}{9}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được:
\(\text{∑}_{cyc}\left[x\left(y^2+z^2\right)\right]\le\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}\text{∑}_{cyc}\left[x\left(y^2+z^2\right)\right]\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
Cuối cùng ta cần chứng minh được
\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)