\(B=x^2-xy+y^2\)
CMR: B dương với mọi x,y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 8 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+\sqrt{xy}=\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{x^3+y^3}{2xy}+\sqrt{xy}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x^3+y^3)^2}{4xy\sqrt{xy}}}\)
Bằng BĐT AM-GM, dễ thấy:
\(x^3+y^3\geq \frac{1}{2}(x+y)(x^2+y^2)\geq \sqrt{xy}(x^2+y^2)\)
\(\Rightarrow (x^3+y^3)^2\geq xy(x^2+y^2)^2=xy\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{(x^2+y^2)^3}\geq xy\sqrt{2xy}\sqrt{(x^2+y^2)^3}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+\sqrt{xy}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}{4}}=3\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
KN
2 tháng 8 2019
a) \(x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\)
KN
2 tháng 8 2019
c) \(C=4x-10-x^2=-\left(x^2-4x+10\right)\)
\(=-\left(x^2-4x+4+6\right)=-\left[\left(x-2\right)^2+6\right]\)
\(=-\left(x^2-4x+4+6\right)=-\left[\left(x-2\right)^2\right]-6\le-6< 0\forall x\)
N
25 tháng 10 2019
a.\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2\ge2xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)(LĐ).
Vậy ta có đpcm.
b. \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\)
Vậy ta có đpcm.
#Walker
25 tháng 3 2018
Ta có: \(xy+yz+zx>\frac{18xyz}{2+xyz}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{18}{2+xyz}\)Vì \(x;y;z>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwazt,ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=9=\frac{18}{2}\)
Mà \(x;y;z>0\Rightarrow\frac{18}{2}>\frac{18}{2+xyz}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{18}{2+xyz}\Leftrightarrow xy+yz+zx>\frac{18yz}{2+xyz}\left(đpcm\right)\)
TK
CMR nếu a(b-c)x^2+b(c-a)xy+c(a-b)y^2=d(x-y)^2 trong đó a,b,c khác 0 đúng với mọi x,y thì 1/a+1/c=2/b
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 6 2020
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{2007}{xy+yz+zx}\)
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{2007}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)
\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6021}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{6030}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6030}{3^2}=670\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
OV
16 tháng 6 2020
Áp dụng BĐT Côsi dưới dạng engel, ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)
⇒\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{x+y+z}\) = 9
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z
14 tháng 10 2018
\(A=x^2+x+1=x^2+2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)
vì \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)
vậy A luôn luôn dương với mọi x
26 tháng 5 2022
b: \(B=x^2-xy+y^2\)
\(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2>0\forall x,y\ne0\)
c: \(C=-x^2+4x-10\)
\(=-\left(x^2-4x+10\right)\)
\(=-\left(x^2-4x+4+6\right)\)
\(=-\left(x-2\right)^2-6< 0\)
KT
14 tháng 7 2018
a) \(A=x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) với mọi x
b) \(B=x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) với mọi x
c) \(x^2+xy+y^2+1=\left(x+\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2+1>0\) với mọi x,y
d) bạn kiểm tra lại đề câu d) nhé:
\(x^2+4y^2+z^2-2x-6y+8z+15\)
\(=\left(x-1\right)^2+\left(2y-\frac{6}{4}\right)^2+\left(z+4\right)^2-\frac{13}{4}\)
Bạn ơi thiếu điều kiện của x,y rồi. Nếu không thì sửa đề : chứng minh B không âm với mọi x,y
\(B=x^2-xy+y^2=\left(x^2-2.x.\frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3y^2}{4}=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\ge0.\)
Dấu '=' xảy ra (hay B=0) khi \(\hept{\begin{cases}\frac{3y^2}{4}=0\\\left(x-\frac{y}{2}\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=0\)
Cm: B dương
B = x2 - 2xy + y2 > 0 vì (x - y)2 \(\ge\)0
Bạn ơi đề sai nhé, phải là x2 - 2xy + y2