Question

[• 长αʂαƙĭ ๖ۣۜYchĭƙα ༉☆° ﾟ( Team TMS...]

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(x+y+z=xyz\)

            Chính sách Team : https://anotepad.com/note/read/nd532q

Answer 1

[Hoàng Long]

#) Giải

Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.  
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.  
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.  
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.  
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).

                                      ~ Hok tốt ~

Answer 2

[• 长αʂαƙĭ ๖ۣۜYchĭƙα ༉☆° ﾟ( Team TMS...]

                                                                      Bài giải

                                       Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử \(1\le x\le y\le z\)

                Theo bài ra \(1=\frac{1}{yz}+\frac{1}{yx}+\frac{1}{zx}< \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{3}{x^2}\)

                        \(\Rightarrow\text{ }x\le3\text{ }\Rightarrow\text{ }x=1\)

Thay vào đầu bài ta có : \(1+y+z=yz\text{ }\Rightarrow\text{ }y-yz+1=0\)

\(\Rightarrow\text{ }y\left(1-z\right)-\left(1-z\right)+2=0\)

\(\Rightarrow\text{ }\left(y-1\right)\left(1-z\right)=2\)

\(TH1\text{ : }y-1=1\text{ }\Rightarrow\text{ }y=2\text{ và }z-1=2\text{ }\Rightarrow\text{ }z=3\)

\(TH2\text{ : }y-1=2\text{ }\Rightarrow\text{ }y=3\text{ và }z-1=1\text{ }\Rightarrow\text{ }z=2\)

Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn \(\left(1\text{ , }2\text{ , }3\right)\text{ ; }\left(1\text{ , }3\text{ , }2\right)\)