chứng minh rằng 1/2^3 +1/3^3 +1/4^3+...+ 1/2009^3< 1/4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 7 2016
Đầu tiên ta chứng minh \(\frac{1}{n.n}< \frac{1}{\left(n-1\right).\left(n+1\right)}\)(n thuộc N*)
Ta có: \(\frac{1}{\left(n-1\right).\left(n+1\right)}=\frac{1}{\left(n-1\right).n+\left(n-1\right)}=\frac{1}{n.n-n+n-1}=\frac{1}{n.n-1}>\frac{1}{n.n}\)
\(S=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{2009^3}< \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{2008.2009.2010}\)
\(S< \frac{1}{2}.\left(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{2008.2009.2010}\right)\)
\(S< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2008.2009}-\frac{1}{2009.2010}\right)\)
\(S< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2009.2010}\right)\)
\(S< \frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
=> S < 1/4 (đpcm)
Ủng hộ mk nha ^_-
19 tháng 11 2023
cho mình hỏi tại sao:
1/2 . (1/1.2−1/2009.2010) = 1/2 . 1/2
9 tháng 11 2017
Ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{\left(n+1\right)^2}}\right)\)
\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(< \left(1+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Áp dụng vào bài toán ta được
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2009\sqrt{2008}}\)
\(=2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2008}}-\frac{1}{\sqrt{2009}}\right)\)
\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2009}}\right)< 2\)
HT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 5 2019
\(P=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{2008}{3^{2008}}+\frac{2009}{3^{2009}}\)
\(\Rightarrow3P=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{2009}{3^{2008}}\)
\(\Rightarrow2P=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{2008}}-\frac{2009}{3^{2009}}=A-\frac{2009}{3^{2009}}\)
\(A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{2007}}+\frac{1}{3^{2008}}\)
\(\Rightarrow3A=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{2007}}\)
\(\Rightarrow2A=3-\frac{1}{3^{2008}}< 3\Rightarrow A< \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow2P=A-\frac{2009}{2^{2009}}< A< \frac{3}{2}\Rightarrow P< \frac{3}{4}\)
26 tháng 6 2018
B1 : S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2008 / 1 - 2^2009
Đặt A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2008
2A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2009
2A - A = ( 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2009 ) - ( 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2008 )
A = 2^2009 - 1
S = 2^2009 - 1 / 1 - 2^2009
S = -1
TS
1
3 tháng 9 2017
a>
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000
ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )
1/100^2<1/2
=>A<1
28 tháng 2 2020
\(A=3+3^2+3^3+...+3^{100}\)
\(\Leftrightarrow3A=3^2+3^3+3^4+3^5+....+3^{101}\)
\(\Leftrightarrow3A-A=\left(3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{101}\right)-\left(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{100}\right)\)
\(\Leftrightarrow2A=3^{101}-3\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{3^{101}-3}{2}< 3^{100}-1\)
\(\Leftrightarrow A< B\)
28 tháng 2 2020
a. tính A = 3+3^2+3^3+3^4+.....+3^100
3A=3^2+3^3+3^4+3^5+....+3^100
3A-A=(3^2+3^3+3^4+....+3^101)-(3+3^2+3^3+3^4+.....+3^100)=3^101-3=3^100
mà B=3^100-1 => A<B