Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì
thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường
thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
a) BH = AI.
b) \(BH^2\) + \(CI^2\)có giá trị không đổi.
c) Đường thẳng Dn vuông góc với AC.
d) IM là phân giác của góc HIC
MK CHỈ LÀM THÔI NHÉ, CÒN HÌNH THÌ BẠN TỰ VẼ
a) xét 2 tam giác vuông AIC và BHA có
AB=AC(gt)
\(\widehat{BAH}\)=\(\widehat{ACI}\)(vì cùng phụ với góc IAC)
=> BH=AI
b) \(BH^2+CI^2=AI^2+CI^2\)=\(AC^2=AB^2\)
c) ta thấy N là trực tâm của tam giác ADC
=> \(DN\perp AC\)
d) ta có: \(\Delta BHM=\Delta AIM\)(c.g.c)
=> HM=MI và \(\widehat{BMH}\)=\(\widehat{IMA}\) mà: \(\widehat{IMA}\)+\(\widehat{BMI}\)=90 độ => \(\widehat{BMH}\)+\(\widehat{BMI}\)=90 độ
=> tam giác HMI vuông cân
=> \(\widehat{HIM}\)=45 độ mà: \(\widehat{HIC}\)=90 độ => \(\widehat{HIM}\)=\(\widehat{MIC}\)=45 độ
=> IM là phân giác của góc HIC