Question

[tủn]

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì  

            thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng  AD. Đường    

            thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:

            a) BH = AI.

            b) \(BH^2\) + \(CI^2\)có giá trị không đổi.

            c) Đường thẳng Dn vuông góc với AC.

            d) IM là phân giác của góc HIC

Answer 1

[Đỗ Thị Dung]

MK CHỈ LÀM THÔI NHÉ, CÒN HÌNH THÌ BẠN TỰ VẼ

a) xét 2 tam giác vuông AIC và BHA có

   AB=AC(gt)

   \(\widehat{BAH}\)=\(\widehat{ACI}\)(vì cùng phụ với góc IAC)

=> BH=AI

b) \(BH^2+CI^2=AI^2+CI^2\)=\(AC^2=AB^2\)

c) ta thấy N là trực tâm của tam giác ADC

=> \(DN\perp AC\)

d) ta có: \(\Delta BHM=\Delta AIM\)(c.g.c)

=> HM=MI và \(\widehat{BMH}\)=\(\widehat{IMA}\) mà: \(\widehat{IMA}\)+\(\widehat{BMI}\)=90 độ => \(\widehat{BMH}\)+\(\widehat{BMI}\)=90 độ

=> tam giác HMI vuông cân

=> \(\widehat{HIM}\)=45 độ mà: \(\widehat{HIC}\)=90 độ => \(\widehat{HIM}\)=\(\widehat{MIC}\)=45 độ 

=> IM là phân giác của góc HIC