cho x,y>0 thỏa mãn \(xy+4\le2y\)
tìm GTNN của \(A=\frac{x^2+2y^2}{xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HN
1
T
26 tháng 7 2019
Em thử nha, sai thì thôi, mới học dạng này thôi ạ.
Ta có \(A=\frac{x^2+2y^2}{xy}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2+2}{\left(\frac{x}{y}\right)}\) (chia cả tử và mẫu cho y2)
Đặt \(\frac{x}{y}=t>0\)(*) thì \(x=ty\).
\(gt\Leftrightarrow ty^2+4\le2y\Leftrightarrow ty^2-2y+4\le0\) (1)
Ta sẽ chứng minh \(t\le\frac{1}{4}\) (**). Thật vậy, giả sử \(t>\frac{1}{4}\) khi đó:
\(ty^2-2y+4>\frac{1}{4}y^2-2y+4=\frac{1}{4}\left(y-4\right)^2\ge0\) tức là \(ty^2-2y+4>0\)(trái với (1), tức là trái với giả thiết, vô lí)
Do đó (**) đúng. Từ (*) và (**) ta có \(0< t\le\frac{1}{4}\).
Mặt khác \(A=\frac{x^2+2y^2}{xy}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2+2}{\left(\frac{x}{y}\right)}\)
\(=\frac{t^2+2}{t}=32t+\frac{2}{t}-31t\ge2\sqrt{32t.\frac{2}{t}}-31t\)
\(\ge16-31.\frac{1}{4}=\frac{33}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(t=\frac{1}{4}\) tức là \(x=\frac{y}{4}\)
\(0\ge\frac{y^2}{4}-2y+4\). Dễ thấy \(VP=\frac{1}{4}\left(y-4\right)^2\ge0\) do đó VT = VP = 0 <=> y = 4 suy ra x = 1
Vậy..
NH
1
SL
8 tháng 6 2017
\(A=\frac{x^2+4y^2-3y^2}{xy}\ge\frac{2\sqrt{x^2.4y^2}}{xy}-\frac{3y}{x}\)
do x lớn hơn bằng 2y nên \(-\frac{3y}{x}\ge-\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=2y
TN
0
W
0
5 tháng 8 2016
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
5 tháng 8 2016
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
CV
11 tháng 3 2019
theo de bai =>\(2y>=2\sqrt{xy.4}\)(co si)
=>\(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}>=2\)=>\(\frac{y}{x}>=4\)
ta co \(A=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}\)đặt \(\frac{y}{x}=a\)
=>\(A=\frac{1}{a}+2a=\frac{1}{a}+\frac{a}{16}+\frac{31}{16}a>=\frac{1}{2}+\frac{31}{4}=\frac{66}{8}=\frac{33}{4}\)
<=>y=4x
TV
1
TN
30 tháng 1 2017
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)
Dấu "=" xảy ra khio x=y=1/2
TT
1
KR
12 tháng 5 2018
Ta có : \(A=xy+\frac{1}{xy}=\left(16xy+\frac{1}{xy}\right)-15xy\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có :
\(16xy+\frac{1}{xy}\ge2.\sqrt{16xy.\frac{1}{xy}}=8\)
Suy ra \(A\ge8-15xy\)
Ta lại có \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
<=> \(15xy\le\frac{15.1}{4}=\frac{15}{4}\)
<=> \(-15xy\ge\frac{15}{4}\)
Suy ra \(A\ge8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = \(\frac{1}{2}\)
HP
7 tháng 4 2017
bài 1 chắc điểm rơi x=2;y=4, cách làm tạm thời mk chưa nghĩ ra
bài 2: P=(x^2+4y^2)/(x-2y)=[x^2+(2y)^2]/(x-2y)=[(x-2y)^2+4xy]/(x-2y)=(x-2y) + 4xy/(x-2y)=(x-2y)+4/(x-2y) do xy=1
Áp dụng bđt AM-GM , ta có P >/ 4 =>minP=4
đẳng thức xảy ra khi đồng thời x-2y=2,x>2y,xy=1 ,tự giải hệ này ra nhé