tìm các số nguyên x y thỏa mãn x^3+2x^2+3x+2=y^3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
2
9 tháng 8 2023
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
2x2+3x+22�2+3�+2
=2(x2+32x+1)=2(�2+32�+1)
=2(x2+2.x.34+916+716)=2(�2+2.�.34+916+716)
=2[(x+34)2+716]=2[(�+34)2+716]
=2(x+34)2+78=2(�+34)2+78
Nhận xét:
2(x+34)2≥02(�+34)2≥0 ∀∀x�
⇒2(x+34)2+78>0⇒2(�+34)2+78>0 ∀∀x�
Mà x3+2x2+3x+2=y3�3+2�2+3�+2=�3
Nên: x3<y3�3<�3
Giả sử: y3<(x+2)3�3<(�+2)3
⇔x3+2x2+3x+2<x3+6x2+12x+8⇔�3+2�2+3�+2<�3+6�2+12�+8
⇔−4x2−9x−6<0⇔-4�2-9�-6<0
⇔−(4x2+9x+6)<0⇔-(4�2+9�+6)<0
⇔4x2+9x+6>0⇔4�2+9�+6>0
⇔4(x2+94x+8164)+1516>0⇔4(�2+94�+8164)+1516>0
⇔4(x2+2.x.98+8164)+1516>0⇔4(�2+2.�.98+8164)+1516>0
⇔4(x+98)2+1516>0⇔4(�+98)2+1516>0 (luôn đúng)
Vậy điều giả sử đúng hay y3<(x+2)3�3<(�+2)3
Mà: x3<y3�3<�3
Nên: x3<y3<(x+2)3�3<�3<(�+2)3
Mà y3�3 là lập phương của 11 số nguyên, giữa x3�3 và (x+2)3(�+2)3 chỉ có duy nhất 11 lập phương của số nguyên là (x+1)3(�+1)3
Nên: y3=(x+1)3�3=(�+1)3
⇔x3+2x2+3x+2=x3+3x2+3x+1⇔�3+2�2+3�+2=�3+3�2+3�+1
⇔−x2+1=0⇔-�2+1=0
⇔1−x2=0⇔1-�2=0
⇔(1−x)(1+x)=0⇔(1-�)(1+�)=0
⇔⇔ [1−x=01+x=0[1−�=01+�=0
⇔⇔ [x=1x=−1[�=1�=−1
+)x=1+)�=1 thì y3=1+2+3+2=8�3=1+2+3+2=8
<=> y=2`
+)x=−1+)�=-1 thì y3=−1+2−3+2=0�3=-1+2-3+2=0
⇔y=0⇔�=0
Vậy (x,y)=(1,2);(−1,0)
9 tháng 8 2023
\(x^3+2x^2+3x+2=y^3\left(1\right)\)
- Nếu \(x=0\Leftrightarrow y^3=2\) không tồn tại y nguyên
- Nếu \(x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\Rightarrow x^2-1\ge0\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow y^3=x^3+2x^2+3x+2\)
\(\Leftrightarrow y^3=x^3+3x^2+3x+1-\left(x^2-1\right)\)
\(\Leftrightarrow y^3=\left(x+1\right)^3-\left(x^2-1\right)\le\left(x+1\right)^3\left(2\right)\)
Ta lại có
\(y^3=x^3+2x^2+3x+2=x^3+\left[2\left(x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}\right)+2-\dfrac{9}{8}\right]\)
\(\Rightarrow y^3=x^3+\left[2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\right]\)
mà \(\left[2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\right]>0\)
\(\Rightarrow y^3< x^3\left(3\right)\)
\(\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow x^3< y^3\le\left(x+1\right)^3\)
\(\Rightarrow y^3=\left(x+1\right)^3\)
\(\left(2\right)\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=1;x=-1\)
Nếu \(x=-1\Rightarrow y=0\)
Nếu \(x=1\Rightarrow y=2\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;0\right);\left(1;2\right)\right\}\) thỏa mãn đề bài
VD
0
BN
0
AM
2
TH
21 tháng 11 2015
Với [x>1x<−1] ta có: x3<x3+2x2+3x+2<(x+1)3⇒x3<y3<(x+1)3 (không xảy ra)
Từ đây suy ra −1≤x≤1
Mà x∈Z⇒x∈{−1;0;1}
∙ Với x=−1⇒y=0
∙ Với x=0⇒y=2√3 (không thỏa mãn)
∙ Với x=1⇒y=2
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên (x;y) là (−1;0) và (1;2)
- Oral1020, DarkBlood, trandaiduongbg và 1 người khác yêu thích
HM
3
7 tháng 10 2018
Phương trình cho \(\Leftrightarrow x^3-2x^2+3x-y^3-1=0\)(1)
\(\Leftrightarrow y^3=x^3-2x^2+3x-1\)(2)
Ta có: \(\left(x-1\right)^3=x^3-3x^2+3x-1\le x^3-2x^2+3x-1=y^3\)(Do \(3x^2\ge2x^2\ge0\))
Lại có: \(\left(x+1\right)^3=x^3+3x^2+3x+1=\left(x^3-2x^2+3x-1\right)+5x^2+2>y^3\)
Do đó: \(\left(x-1\right)^3\le y^3< \left(x+1\right)^3\Rightarrow x-1\le y< x+1\)
Mà y thuộc Z nên \(\orbr{\begin{cases}y=x\\y=x-1\end{cases}}\)
+) Với y=x, thay vào (1) ta được: \(-2x^2+3x-1=0\Leftrightarrow2x^2-3x+1=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-2x-x+1=0\Leftrightarrow2x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\frac{1}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)\(\Rightarrow x=y=1\)
+) Với y = x-1; thay vào (2), ta được:
\(x^3-2x^2+3x-1=\left(x-1\right)^3\Leftrightarrow x^2=0\Rightarrow x=0\)\(\Rightarrow y=-1\)
Vậy các cặp nghiệm nguyên t/m pt cho là \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(1;1\right);\left(0;-1\right)\right\}.\)
LH
0
NH
2
1 tháng 2 2017
Với \(\left[x>1x< -1\right]\)ta có \(x3< x3+2x2+3x+2< \left(x+1\right)3\Rightarrow x3< y3< \left(x+1\right)3\)Không xảy ra
Từ đây suy ra:\(-1\le x\le1\)
Mà \(x\in Z\Rightarrow x\in\){1,0,-1}
-Với x = -1 thì y = 0
-Với x = 0 thì y = \(2\sqrt{3}\)(loại)
-Với x= 1 thì y = 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên (x;y) là {-1;0 và 1;2}
LT
27 tháng 3 2018
Với [x>1x<−1] ta có: x^3< x^3+2x^2+3x+2<(x+1)^3⇒x^3<y^3<(x+1)^3 (không xảy ra)
Từ đây suy ra −1≤ x ≤1
Mà x ∈ Z ⇒x ∈ {−1;0;1}
∙∙ Với x=−1⇒y=0
∙∙ Với x=0⇒y= căn bậc 3 của 2 (không thỏa mãn)
∙∙ Với x=1 ⇒y=2
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên (x;y) là (−1;0) và (1;2)